2.2 随机变量与概率分布

2.2.1 随机变量

随机变量表示随机试验结果的一个数量。常用大写字母X（或Y, Z…）表示，X随试验结果的不同会取得不同的数值，是一个不确定的量，故称为随机变量。

随机变量可分为两大类型：离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的一切可能取值为有限个或可列个，这些数值可以逐个写出来，相邻二值之间不存在其他值。连续型随机变量的可能取值不能一一列举出来，而是充满某一区间的值，即可以取得某一区间内的任何数值（后面还将给出连续型随机变量的更确切的定义）。例如，打靶射击时命中的环数、某地在一年内降雨的天数等属于离散型随机变量；某测流断面的年最大流量、年最高水位等属连续型随机变量。

2.2.2 分布函数

由随机变量的定义可知，事件（X＜x）的概率是x的函数，若记

则称F（x）为随机变量X的分布函数。

若x1和x2是任意二实数，且x2＞x1，由于事件（X＜x2）是互不相容二事件（X＜x1）与（x1≤X＜x2）的和，因此有

从而

由此可见，只要已知随机变量X的分布函数，就能知道X取值于任意区间上的概率。所以，从这个意义上说分布函数完整地刻划了随机变量的概率分布。

1．离散型随机变量的概率分布

设随机变量X为离散型随机变量，则X的取值可以一一列举出来。若X的所有可能取值为xi（i=1,2, …）, X取xi的概率为pi，即

则式（2-14）称为随机变量X的概率函数。

将X的所有可能取值xi以及与其相应的概率pi列成下表。

则称此表为随机变量X的分布列。分布列全面清晰地反映了离散型随机变量的统计规律。

根据定义，离散型随机变量X的分布函数为

例如，若随机变量X只能取两个值，且

P（X=a）=p, P（x=b）=1-p

则称X服从两点分布，若a=0, b=1，则也称X服从0-1分布。

由式（2-11）, X的分布函数为

常见的离散型随机变量分布还有二项分布、泊松分布等，后面将作进一步介绍。

2．连续型随机变量的概率分布

设随机变量X的分布函数为F（x），如果存在非负函数f（x），使对任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，f（x）称为概率分布密度函数，简称分布密度、概率密度或密度函数。注意式（2-16）中x的不同含义，该式表示。

连续型随机变量的分布函数完全由其密度函数所确定，从而连续型随机变量的概率特性也完全由其密度函数所确定，因此在讨论连续型随机变量时，往往利用密度函数作工具。图2-2表示连续型随机变量的概率密度函数与分布函数间的关系。F（x）在任一点x0处的值F（x0）就是图中概率密度曲线y=f（x）下x0左边阴影部分的面积；密度曲线y=f（x）与Ox轴间的面积等于1；随机变量X落在区间（x1, x2）内的概率等于图中概率密度曲线下界于x1与x2之间的面积。

利用式（2-16），由密度函数可以求得分布函数。反之，由分布函数也可求得密度函数：

例如，设X为取值于有限区间 [a, b]的连续型随机变量，其概率密度

则称X在 [a, b]上服从均匀分布。由式（2-16），可得X的分布函数