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1.4 模糊风险
1.4.1 模糊理论的几个概念
1.模糊集与隶属函数
在经典集合论中,某个元素x与某个集合A的关系只有两种:即x∈A,或x∉A。但是,客观事物浩如烟海,事物之间的关系非常复杂,远不是这种“非此即彼”的简单模式所能概括的。例如,“青年人”是一个集合,那么,30岁的人是不是青年人呢?有人说是,有人说不是,为什么呢?这是因为“青年人”这个概念本身就是含糊不清的,“青年人”与“非青年人”之间并没有明确的年龄界限。又如,水文分析中,常使用“相似流域”概念,但流域间的相似与不相似之间并不能用几个数据简单地界定。因为“相似”与“不相似”之间的界限本来就是含糊不清的。这类事物之间界限含糊不清的特性,就称为事物的模糊性。为了刻画事物之间的模糊关系,需要引入模糊集合的概念。
在经典集合论中,对每一个集合,都可用一个只取0或1两个值的特征函数CA(x)来表达元素x与集合A的关系,即

特征函数CA(x)清楚地刻画了元素x对集合A的隶属关系。类似地,对于模糊集,也可以用一个函数来刻画某一元素x与模糊集A之间的隶属关系。但是,模糊集是界限或边界不明的具有特定性质的事物的集合。因此,元素x与集合A之间的隶属关系不再是绝对地“属于”或“不属于”关系,而是一种“在某种程度上元素x具有集合A中元素的特征,但这种特征又不十分明确”这样一种关系。根据元素x与集合A之间关系的这种特征,我们可以用“x属于A的程度”这样一个概念来描述这种关系。为此,可以采用一个定义在区间 [0,1]上的函数μA(x)来刻画x对A的隶属程度。μA(x)的值愈接近1,表示x隶属于A的程度愈高,μA(x)的值愈接近0,表示x隶属于A的程度愈低。这样,函数μA(x)就完备地刻画了元素与模糊集合之间的关系了。这个函数就称为模糊集A的隶属函数。简称为隶属函数。其值称为元素x对集合A的隶属度。
为了区别于经典集合,一般采用,
,
等表示模糊集。
若元素xi(i=1,2, …, n)对的隶属度为μA(xi),则
可表示为

式中:表示元素xi属于
的程度为
;“+”“∑”并不表示通常意义上的“加”或“和”,它只表示集合
由哪些元素组成。
一般地,可将模糊集表示为

式中:U为广义区间或称为论域,μA(x)∈[0,1]。
隶属函数是模糊集合应用于实际问题的基础,隶属函数的确定至今尚无令人满意的解决办法,在实际问题中,主要还是经验性的。
一般模糊数学书籍中都介绍一些典型的隶属函数,实际应用中,可根据具体情况选择。下面是隶属函数的几个例子。
(1)降半梯形:如图1-3所示。
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图1-3 降半梯形
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(2)降半Γ形:如图1-4所示。
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图1-4 降半Γ形
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(3)降半岭形:如图1-5所示。

图1-5 降半岭形
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(4)降半正态形:如图1-6所示。
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图1-6 降半正态形
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(5)升半Γ形:如图1-7所示。
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图1-7 升半Γ形
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(6)升半正态形:如图1-8所示。
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图1-8 升半正态形
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(7)升半岭形,如图1-9所示。
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图1-9 升半岭形
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(8)岭形:如图1-10所示。
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图1-10 岭形
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(9)正态形:如图1-11所示。
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图1-11 正态形
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(10)三角形:如图1-12所示。
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图1-12 三角形
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2.水平截集
定义:设给定模糊集合,对任意α∈[0,1],称普通集合
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为的α水平截集。
从定义可知,凡x对的隶属度达到或超过α者,就是集合Aα的成员。
对于一个模糊集,取它的α水平截集,就是把它的隶属函数按下式转化为特征函数:

这个转化关系如图1-13所示。从图上可以看到,此时水平截集Aα就闭区间 [x1, x2]。

图1-13 的α水平截集
若对任意α∈[0,1], Aα均为闭区间,则称为一个模糊数。
例如,=0.1/x1+0.2/x2+0.5/x3+0.7/x4+0.9/x5+1/x6
则,对任意α∈[0,1], Aα都只包含几个离散元素,所以Aα不是闭区间,从而不是模糊数。
截集概念是联系模糊集与普通集合的桥梁,它使模糊集论中的问题转化为普通集合论的问题。
3.模糊关系与模糊矩阵
所谓模糊关系是指事物之间存在的一种有一定联系,但又不甚明确的关系。例如,父母与子女之间存在一定相似性,但又存在一些不相似的地方,因此,父母与子女之间的这种相似关系就是一种模糊关系。
对于模糊关系,也可以用隶属函数来表示。设S为某种关系,元素x与元素y之间存在S关系的程度,可以用隶属函数μs(x, y)表示。μs(x, y)的值域也是 [0,1]。若μs(x, y)=0,则x与y间不存在S关系;若μs(x, y)=1,则x与y间存在完全的S关系;而当0<μs(x, y)<1时,表示x与y间关于S存在模糊关系,也就是说,x与y间存在S关系的程度为μs(x, y)。
对于分别具有n个元素x和m个元素y的两个普通集合A和B,可以用元素(xi, yj)(i=1,2, …, n; j=1,2, …, m)关于关系S的隶属函数μs(xi, yj)来表示集合A与集合B之间存在S关系的程度。
将n×m个隶属函数值μs(xi, yj)排列成矩阵(1-28),就得到模糊矩阵:

4.模糊关系的运算
下面介绍模糊矩阵之并与交的运算及两模糊矩阵乘法的运算。
设,
是两个n行m列的模糊矩阵,
=(xij),
=(hij),则

就是说,两个模糊矩阵的并,与普通矩阵的计算方法类似,也是取对应元素的并,不过在模糊矩阵的并运算中,不是取两数之和,而是取两数中的较大值,式(1-29)中的符号“∨”就是取两数中较大值的意思。例如5∨3=5,2∨7=7,等等。设

对两个各有n行的m列元素的模糊矩阵,定义交的运算为取对应元素的交。即

两模糊矩阵乘法的运算也和普通矩阵乘法的运算过程相同,只不过需要将“×”改为“∧”运算,把“+”改“∨”运算。符号“∧”表示取两数中较小者。
设,
,则

式中

例如

其他元素可用同样方法算得。
5.模糊概率
在经典概率论中,事件是基本空间中被精确定义的集合,如果基本事件是离散且相互独立的,每个基本事件出现概率为pi,若事件A由基本空间中的n个基本事件构成,则A出现的概率为

式中:pi为构成事件A的第i个基本事件的概率。
若基本事件是连续的,构成事件A的基本事件集为S,则A的概率为

式中:x为构成事件A的基本事件。
f(x)为基本空间上的概率密度。
在模糊集合论中,模糊事件是基本空间中的模糊集合,如果基本事件xi隶属于模糊事件的隶属函数为
,则定义模糊事件
的模糊概率为:

若基本空间是连续的,则的模糊概率定义为:

6.最大隶属度原则
通过模糊分析得出的结论常常是多值的,有时为了决策的需要,需将其单值化,为此,常采用最大隶属度原则。
(1)最大隶属度原则Ⅰ:给定论域U上的一个模糊集,设U中有几个待选对象u1, u2, …, un,要问在
的模糊限制下应优先取谁?
答:若,则选取ui。
(2)最大隶属度原则Ⅱ:给定论域U上n个模糊集(模型),
, …,
, u0∈U是一个需识别的对象,要问u0应优先归于谁?
答:若,则将u0优先划归
。
1.4.2 模糊风险
传统风险分析中,只认为功能函数中的基本变量具有随机性,而系统失事的判别准则是明确的,即把Z=0作为是否失事的界限,Z<0系统处于失事状态,Z>0系统处于可靠状态。但在实际系统中,系统由可靠状态转变为失事状态是一个渐变过程,即并非Z>0就一定安全,Z<0就一定失事。而是从安全到失事,中间存在一个过渡的模糊区,而不是由一个点决定的,如图1-14所示。例如,在供水与发电系统中,在一定时期内可能由于干旱而造成供水减少,或发电不足,传统风险分析认为供水量或发电量小于设计值时,系统就失事了,但实际上,虽然此时与之有关的社会生产和生活系统会受到一定影响,但不至于完全瘫痪,只不过是在较低效能水平上运行而已。又如,在水库大坝漫顶失事问题中,传统认为,只要库水位超过坝顶高程,大坝就会失事,但实际情况并非如此。漫坝失事并没有绝对分明的界限,而具有从量变到质变的中间过程,这一模糊过程是与工程质量和管理条件紧密相关的。下游植被和防渗防冲条件好的大坝,当洪水位略高于坝顶时也不至于失事;大洪水来临时,采取抢险加高坝顶等措施,也可避免可能的失事事故。相反,在小洪水时,坝前水位没有超过坝顶,但因管理调度不当或发生库区滑坡塌方、地震等,引起水位抬高,也可能发生漫坝失事。综上所述,可见失事判断准则也是具有模糊性的。另外,在系统的功能函数中,或描述系统的数学模型中,一般都存在一些参数,而这些参数往往不可能给出精确数值,也存在一定的模糊性。因此可将系统失事视为一种模糊事件,用隶属函数来表示系统处于失事状态的程度,用模糊数学方法计算系统失事的模糊风险。若已知功能变量Z的概率密度函数f(z),把系统失事(Z=S-L<0)看成为一模糊事件, Z隶属于事件
的隶属函数记为
,它刻画了其取不同值时导致系统失事可能性的大小,即Z的值与事件
关系密切的程度,
的值越大,表示该z值导致系统失事的可能越大,
,说明该Z值与系统失事没有关系。根据模糊概率的定义,模糊事件
发生的概率为


图1-14 失事过渡区
按习惯,把称为模糊风险,一般记为
。
按隶属函数的含义,当Z>0时,系统处于安全状态,所以应有

于是式(1-34)可写为
