§1.3 行列式性质与计算

导学提纲

1．行列式有哪些性质？

2．怎么用行列式性质，将行列式化成上（下）三角形？

按n阶行列式定义（定义1.1.4）或展开公式（定理1.2.1）计算n≥5阶行列式是很复杂的．本节介绍行列式的性质，用这些性质可以将行列式化简成上（下）三角形后求值．

将行列式

的行与列对换（即以主对角线为轴翻转；亦即把第i行改成第i列，i=1,2, …, n），得行列式

称后者为|A|的转置行列式，记作|AT|．例如，

读者可以动手算一下，这两个行列式的值都等于-24．其实|A|=|AT|是一个普遍事实．

性质1 n阶行列式|A|=|AT|.

性质1表明行列式的行有什么性质，列也有什么性质．

性质2 用数k乘以行列式|A|=|aij|nn某一行（列）的每一个元素后，所得行列式值等于k|A|．即

或

或者说，如果行列式某一行（列）所有元素有公因子k，可以将k提到行列式前面．

例如，

用3乘以|A|的第2行每一个元素，得

又例如，行列式

的第3列有公因子4，可将4提到行列式前面，从而简化计算．

再例如，欲计算行列式

为避免分数运算，又要保持|A|值不变，可以将|A|的第1行乘以2，前面乘以；第3行乘以3，前面乘以，得

注意

推论1.3.1 如果行列式中有一行（列）元素全为“0”，则行列式值等于零．

性质3 行列式可以按某一行（列）“拆”成两个行列式之和．即

或

例如，

注意 下面的拆法是错误的．

例1.3.1

性质4 对换行列式的两行（列），行列式值反号，即

或

例如，

对换|A|的第1行与第3行，得

对换|A|的第2列与第3列，得

推论1.3.2 行列式中若有两行（列）元素对应相同，则行列式值等于零．

例如，

证 设|A|=|aij|nn的第i行与第j行相同，对换|A|的第i行与第j行，得-|A|．由|A|=-|A|，推出2|A|=0，所以|A|=0.

推论1.3.3 若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式值等于零．

证 不失一般性，以3阶行列式为例．

性质5 将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式值不变．

证 不失一般性，以3阶行列式|A|=|aij|为例，将|A|的第1行的k倍加到第3行上去（第1行不变，第3行变了），得

例如，

例1.3.2 计算行列式

分析 目标是用行列式性质将行列式化成上三角形，然后求值．

解 注1

注1：当c≠0时，表示提出第i行（列）公因子c; 表示对换第i行（列）与第j行（列）; 表示把第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去；以上记号写在等号上（下）面，表示对行（列）运算．

例1.3.3 计算行列式

分析 行列式中元素有分数，为便于计算，第2列乘以3，前面除以3；第4列乘以2，前面除以2.

解法1

解法2 继解法1第4步结果：

解法3 按第3列展开．

解法4

例1.3.4 计算行列式

分析 欲直接将行列式化成上（下）三角形，需讨论a≠0, a=0．此方法不可取．另观察原式每一行元素之和相同，因此可将第2、3、4列都加到第1列，提出新的第1列公因子a+3，从而得到一个特殊的第1列．

解

请读者计算n阶行列式

例1.3.5 计算行列式

分析 原式是5阶行列式，主对角元a1, a2, a3, a4分别与右邻元素反号，所以将原式化成下三角形为宜．

解

请读者计算n+1阶行列式

例1.3.6 证明

证 记等式左边为|A|，将|A|的每一行提出公因子（-1），得

移项，2|A|=0，所以|A|=0.

n阶行列式|A|=|aij|nn中，如果aij=-aji，则称|A|为反对称行列式．请读者证明：奇数阶反对称行列式值等于零．

例1.3.7 计算4阶范德蒙（Vandermonde）行列式

解

用数学归纳法可以证明n阶范德蒙行列式

例如，

习题1.3

1．利用行列式性质证明下列等式：

2．设3阶行列式|ai j|=a，求下列行列式值．

3．设5阶行列式|ai j|=12，依下列次序运算：对换第1列与第4列；然后转置；用2乘以所有元素；将第5行的（-3）倍加到第2行上去；再用乘以第3列每一个元素，求最后一个行列式的值．

4．填空：设

那么

5．填空：

6．计算下列行列式：

7．计算行列式：

8．解方程：