1.2 倍和数与倍积数
本节介绍涉及自身数字构成的另一类新颖整数：优美倍和数与倍积数。
这类整数的“优美”是指其组成数字不重复，“和”是指组成该数的各数字之和，“积”是指组成该数的各数字之积。
1.2.1 优美倍和数
定义：由n个互不相同的数字（可含数字0）组成的n位整数x若是其n个数字之和s的整数m倍，即有
x＝m×s
则称整数x为n位优美倍和数，整数m为对应的倍数。
例如，上面求得的水仙花数407的3个数字之和为11，407＝37×11，407就是一个3位优美倍和数，37为相应倍数。
【问题1】 试求3位优美倍和数的倍数m的最大值。
【思考】 以m的表达式为依据，逐个数字试验探求。
设3位优美倍和数x的3个互不相同数字为a，b，c，即x＝100a＋10b＋c，s＝a＋b＋c，则
由表达式看，分母中a，b，c是平等的，但分子就不一样了，相差很大。
基本思路：求取倍数m最大时，通常取a＞b＞c，当然以x能被s整除为前提。若x不能被s整除，则通常在较小的数字b，c中局部调整。
据式（1），要使m最大，在x能被s整除的前提下，取c尽可能小，不妨取c＝0，则
据式（2），对任何a取值，要使m最大，b尽可能取最小，不妨取b＝1，即有
据式（3），要使m最大，a可取最大9，此时m＝91。
若取0＜c≤9，可知m＜91。
因而得：倍数m最大的3位优美倍和数为910，其相应的最大倍数为91。
【问题2】 探求3位优美倍和数的倍数m的最小值。
【思考】 同样以m的表达式为依据，逐个数字试验探求。
为求取倍数m的最小值，通常取a＜b＜c，同样以x能被s整除为前提。若x不能被s整除，则在数字b，c中局部调整。
据式（1），取a＝1，即有
由上式可知要使m最小，c应取最大，因而c从9开始递减取值。
若取c＝9，则
，无论b取何值，m非整数，不符合要求。
若取c＝8，则
，要使m为整数，取b＝9，得m＝11；或取b＝0，得m＝12。
因而可得：a＝1时，取x＝198得m＝11为最小。
据式（1），取a＝2，有
由上式可知要使m最小，c尽可能取最大，因而c从9开始递减取值。
若取c＝9，则
，要使m为整数，则取b＝0，得m＝19，显然大于11。
若取c＝8，则
，要使m为整数，则取b＝2（与a相同，舍去）或b＝8（与c相同，舍去）。
若取c＝7，则
，要使m为整数，则取b＝4，得m＝19，显然大于11。
依此a逐一递增取值，得m均大于11。
因而得：倍数m最小的3位优美倍和数为x＝198，其相应的最小倍数为m＝11。
【拓展】 探索n位优美倍和数及其倍数m的最大值与最小值。
输入正整数n（2≤n≤9），统计n位优美倍和数的个数，求出倍数m的最大值与最小值，并输出对应m最大与最小时的n位优美倍和数。
1. 设计要点
（1）枚举与分离数字。首先通过循环求出n位没有重复数字的最小与最大整数a，b，然后设置x（a~b）循环枚举n位整数；然后对每一个n位整数x应用整除／与取余%操作，分离x的n个数字k；最后通过求和s＋＝k；得到x的n个数字和s。
（2）统计与判别。应用f数组f[k]＋＋；统计数字k的频数，以便排除各数字k存在相等的情形；然后判别x能否被s整除：若x能被s整除，则产生一个n位优美倍和数x及其倍数m＝x/s，用变量i统计优美倍和数个数。
（3）比较求最值。通过比较求取倍数m的最大值max与最小值min，并分别记录m最大、最小时的x与s的值，为输出m最大与最小时的优美倍和数提供数据。
2. 探求程序设计
3. 程序运行示例与变通
请输入位数n(2≤n≤9):4
4位优美倍和数共645个。
倍数m最大为760:9120=760×12
倍数m最小为61:1098=61×18
如果输入n＝3，即可得3位优美倍和数的个数及它们的倍数的最大值与最小值。
当n比较大时，例如n＝8，9，程序的运行相应变慢。建议通过输入不同整数n值运行程序，具体感受枚举时间的差异。
变通：把组成数字排除0，保留n个数字互不相同，即组成n位整数的n个数字限定为互不相同的正数。
在以上搜索程序中测试整数x是否有重复数字时还需测试n个数字是否含0，即把程序中的测试条件进行以下改变：f[k]＞1改为f[k]＞1||f[0]＞0。这一变通，可得n位不含0的优美倍和数的相应结果。例如，当n＝4时，程序运行结果如下所示。
请输入位数n(2≤n≤9):4
4位优美倍和数共322个。
倍数m最大为534:9612=534×18
倍数m最小为71:1278=71×18
1.2.2 优美倍积数
定义：由n个互不相同的非零数字组成的n位整数x若是其n个数字之积t的整数m倍，即有
x＝m×t
则称整数x为n位优美倍积数，整数m为对应的倍数。
例如，3276的4个数字之积为252，3276＝13×252，3276就是一个4位优美倍积数，13为对应倍数。
输入正整数n（2≤n≤9），探求n位优美倍积数的个数，及n位优美倍积数的倍数m的最大值与最小值，并输出倍数m最大与最小时对应的n位优美倍积数。
对于某些n，若没有相应的n位优美倍积数，则予以指出。
1. 编程设计要点
（1）枚举与分离。首先求出n位没有重复非零数字的最小与最大整数a，b，然后设置x（a~b）循环枚举n位整数；对每一个n位整数x应用整除／与取余%操作，分解x的n个数字k；通过求积t∗＝k；得到x的n个数字之积t。
（2）统计与判别。对每一整数应用f数组f[k]＋＋；统计数字k的频数，以排除各数字k存在相等（f[k]＞1）的情形；然后判别x能否被t整除：若x能被t整除，则产生一个n位优美倍积数x及其倍数m＝x/t，用变量i统计优美倍积数个数。
（3）比较求最值。通过比较求取倍数m的最大值max与最小值min，并分别记录m最大、最小时的x与t的值，为输出m最大与最小时的优美倍积数提供数据。
2. 探求n位优美倍积数程序设计
3. 程序运行示例与说明
请输入位数n(2≤n≤9):5
5位优美倍积数共9个。
倍数m最大为167:64128=167×384
倍数m最小为19:12768=19×672
请修改程序，输出指定n位所有优美倍积数。
这里引申出一个新的问题：对于指定的位数n，是否存在n位优美倍和同时倍积的整数？
4. 引申探求n位优美倍和积数
定义：如果n位整数x是优美倍和数，也是优美倍积数，则称x为n位优美倍和积数。
例如，3位整数216，其数字之和为9，216＝24×9；同时其数字之积为12，216＝18×12；可见216就是一个3位优美倍和积数。
试修改以上程序，搜索并输出指定n位所有优美倍和积数。
修改：
（1）增加统计数字和变量s，以及数字和的倍数j。
（2）求数字积时，同时求数字和：t∗＝k；s＋＝k；（s需先清零）
（3）判别数字积的倍数，同时判别数字和的倍数：（x%t＝＝0&&x%s＝＝0）
（4）计算数字积的倍数，同时计算数字和的倍数：m＝x/t；j＝x/s；
（5）修改输出语句，并删除有关最大最小操作。
例如，指定n＝5时，程序运行结果如下所示。
请输入位数n(2≤n≤9):5
1:12768=532×24,12768=19×672
2:13248=736×18,13248=69×192
3:13824=768×18,13824=72×192
4:18432=1024×18,18432=96×192
5:61824=2944×21,61824=161×384
5位优美倍和积数共5个。
显然，以上输出的5个5位优美倍和积数是上面9个5位优美倍积数的一个子集。其中，第2，3，4个优美倍和积数都是由1，2，3，4，8通过不同排列组成的5位数，以后将其称为“变序数”。