命题II.3

如果一条线段被任意分成两段，那么该线段与两条小线段之一所构成的矩形，等于两条小线段所构成的矩形与前面小线段上的正方形的面积之和。

设：线段AB在C点被切割。

求证：AB、BC构成的矩形等于AC、CB构成的矩形与BC上的正方形相加。

令：以CB为边作正方形CDΕB，延伸ΕD至F，通过A点作AF平行于CD或BΕ（命题I.46、I.31）。

那么：AΕ等于AD加CΕ。

因为：BΕ等于BC；AΕ是由AB、BΕ为边构成的；CD等于CB，DB是CB上的正方形。

所以：AΕ是AB、BC为边构成的矩形；AD是AC、CB为边构成的矩形。

所以：AB、BC所构成的矩形等于AC、BC构成的矩形与BC上的正方形之和。

所以：如果一条线段被任意分成两段，那么该线段与两条小线段之一所构成的矩形的面积，等于两条小线段所构成的矩形与前面小线段上的正方形的面积之和。

证完