第18章 不可达基数（2）

假设\kappa 是最小的不可达基数，那么\left\{\alpha\lt\kappa:cf\left(\alpha \right)=\alpha \right\}不是\kappa 的平稳子集，因为\left\{\alpha\lt\kappa:cf\left(\alpha \right)\lt\alpha \right\}作为\kappa 的无界闭子集与其相交为空。

若\kappa 是第\alpha\lt\kappa 个不可达基数，\left\{\alpha\lt\kappa:cf\left(\alpha \right)=\alpha \right\}依旧不是\kappa 的平稳子集，取\kappa 中最大的不可达基数\lambda ，\left\{\alpha\lt\kappa:\lambda\lt\alpha \right\}作为\kappa 的无界闭子集与其相交为空。

因此，倘若\left\{\alpha\lt\kappa:cf\left(\alpha \right)=\alpha \right\}是\kappa 的平稳子集，那么\kappa 会是第\kappa 个不可达基数。

假设 V\models\mbox{ZFC}，对任意公式 Q_{1}x_{1}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)，定义函数 f_{\varphi_{i}}:V^{n}\rightarrow V

若 Q_{1}x_{1}为\exists x_{1}，并且 V\models Q_{1}x_{1}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)，则 f_{\varphi_{i}}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)为秩最小的使得\exists x\in V_{\alpha} Q_{2}x_{2}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)成立的 V_{\alpha}，倘若这样的 x 不存在，则为 0

若 Q_{1}x_{1}为\forall x_{1}，并且 V\models Q_{1}x_{1}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)，则 f_{\varphi_{i}}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)为秩最小的使得\exists x\in V_{\alpha}\neg Q_{2}x_{2}，…，Q_{m}x_{m}\varphi_{i}\left( x_{m+1}，…，x_{n}\right)成立的 V_{\alpha}，倘若这样的 x 不存在，则为 0

令 F=\left\{\varphi_{n}:n\in\omega \right\}是对所有公式的枚举，定义

f_{F}\left( x_{1}，…，x_{n}\right)=\bigcup \left\{ f_{\varphi_{n}}\left( x_{1}，…，x_{n}\right):\varphi_{n}\in F\right\}，即为某个 V_{\gamma}，其包含了最底限的使得形如\exists x\varphi\left( x，…，x_{n}\right)类命题成立的 x ，若不包含使得形如\exists x\neg\varphi\left( x，…，x_{n}\right)类命题成立的 x ，即意味着\neg\exists x\neg\varphi\left( x，…，x_{n}\right)\leftrightarrow\forall x\varphi\left( x，…，x_{n}\right)成立。既然\forall x\varphi\left( x，…，x_{n}\right)在 V 中成立自然也不可能存在这样的 x 。

任取 V_{\gamma}递归定义：

V_{\gamma}^{0}=V_{\gamma}；

V_{\gamma}^{n+1}=V_{\gamma}^{n}\cup\bigcup\left\{ f_{F}\left( x_{1}，…，x_{n}\right):x_{1}，…，x_{n}\in V_{\gamma}^{n}\right\}；

V_{\lambda}=\bigcup_{n\in\omega} V_{\gamma}^{n}

则 V\models \varphi\left( x_{1}，…，x_{n}\right)\leftrightarrow V_{\lambda}\models \varphi\left( x_{1}，…，x_{n}\right)，若 V 中不存在世界基数，则 V= V_{\lambda}，\lambda 是最小的世界基数（world cardinal），亦即最小的使得 V_{\lambda}\models ZFC 的\lambda

若\kappa 为不可达基数，同样有 V_{\kappa}\models\mbox{ZFC}。对任意形如\exists x{\varphi_{i}}\left( x，x_{1}，…，x_{n}\right)的公式，定义函数 g_{\varphi_{i}}:{\kappa}\rightarrow {\kappa}为对任意 x_{1}，…，x_{n}\in V_{\alpha}，\exists x\in V_{g_{\varphi_{i}}\left(\alpha \right)}{\varphi_{i}}\left( x，x_{1}，…，x_{n}\right)^{V_{\kappa}}， V_{g_{\varphi_{n}}\left(\alpha \right)}即秩最小的\left\{ x :{\varphi_{i}}\left( x，x_{1}，…，x_{n}\right)^{V_{\kappa}}\right\}\cap{V_{\lambda}}\ne\oslash 的\lambda 。而对任意形如\exists x{\varphi_{i}}\left( x\right)的公式，定义函数 g_{\varphi_{i}}:{\kappa}\rightarrow {\kappa}，V_{g_{\varphi_{i}}\left(\alpha \right)}即秩最小的包含 V_{\alpha}且\left\{ x :{\varphi_{i}}\left( x \right)^{V_{\kappa}}\right\}\cap{V_{\lambda}}\ne\oslash 的\lambda 。

令 F=\left\{\varphi_{i}:i\in\omega \right\}是对所有公式的枚举，定义 g_{F}\left(\alpha\right)=\bigcup \left\{ g_{\varphi_{i}}\left(\alpha\right):\varphi_{i}\in F\right\}，则每一个满足 g_{F}\left(\alpha \right)=\alpha 的\alpha 都是世界基数。

定义\Psi\left( 0，S \right)=\Psi\left(S \right)， S 为任意长序数串。如\Psi\left( 0，\alpha \right)=\Psi\left(\alpha \right)，\Psi\left( 0，\alpha，\beta \right)=\Psi\left(\alpha，\beta \right)，特别地，\Psi\left(\alpha \right)=g_{F}\left(\alpha \right)

\Psi(S，\alpha，Z，\beta)=\min\{\gamma|\forall\delta<\alpha(\Psi(S，\delta，\gamma，Z)=\gamma)\land\forall\delta<\beta(\Psi(S，\alpha，Z，\delta)<\gamma)\}，其中 0\lt\alpha ，S 为任意长（可以为 0）序数串， Z 为任意长（可以为 0）的 0 字符串

如\Psi\left(\alpha，\beta \right)，这里 S 和 Z 的长度均为 0，从而对于所有\delta\lt\alpha ，\Psi\left(\delta，\Psi\left(\alpha，\beta \right)\right)=\Psi\left(\alpha，\beta \right)，并且对所有\delta\lt\beta ，\Psi\left(\alpha，\delta \right)\lt\Psi\left(\alpha，\beta \right)

后半段的情况是平凡，这里需要注意的是前半段， Z 发生了移位，这表明了\alpha 的递减会使得右边第一个数\beta 变为 0 ，并且需要看往左数第一个非 0 序数，也正是发生的另一个改变的数——\alpha 右边第一个 0 代替了\beta 成为了\delta 管束下的变元，就如\Psi\left(\alpha，\beta \right)中\beta 受\alpha 管束。

以\Psi\left(1，0，0 \right)为例，由于要求 0\lt\alpha ，所以这里\alpha 只能是 1 ， S 再次长度为 0 ，\beta 倒是固定最右。由于小于 1 的数只有 0，所以这里发生的改变是 0 右边的 0 变成变元，而\beta 归零，\Psi\left(1，0，0 \right)将成为\Psi\left(0，x，0 \right)的不动点。而开始已经说了，首位为 0 的情况直接去除，也就是\Psi\left(0，x，0 \right)=\Psi\left(x，0 \right)。

而这里，之所以\beta 要归零只留一个变元是在于\alpha\leq\Psi_{\alpha}\left( 0 \right)\lt\Psi_{\alpha}\left(\beta+1 \right)，因此不存在\Psi_{\alpha}\left(\alpha \right)=\alpha 。

进一步推广到任意序数元的情形，令\alpha\phi\beta 表示从右往左数位置为\beta 的参数\alpha ，其余为零。如\Psi\left(1\phi3 \right)=\Psi\left(1，0，0，0 \right)，而在\alpha\phi0 的情况则表示最右边的位置为\alpha

定义\Psi(S，0\phi\beta，T)=\Psi(S，T)，其中 S 、T 表示任意长（可以为 0 长）的序数串，\Psi(\alpha_n\phi\beta_n，\cdots，\alpha_2\phi\beta_2，\alpha_1\phi\beta_1，\gamma\phi0)=\\\min\{\delta|\forall\xi<\alpha_1\forall\eta<\beta_1(\Psi(S，\xi\phi\beta_1，\delta\phi\eta)=\delta)\land\forall\xi<\gamma(\Psi(S，\alpha_1\phi\beta_1，\xi\phi0)<\delta)\}其中 S=\alpha_n\phi\beta_n，\cdots，\alpha_2\phi\beta_2 ，也就是说你依旧只需要看\Psi(\alpha_1\phi\beta_1，\gamma\phi0)这两段而已，但要注意的是，\beta_n>\cdots>\beta_2>\beta_1>0 ，因为同一位置不能即参数为\alpha 又参数为\beta ，尽管它是描述\Psi 在超限多参数的情况，但这里更多的是表示哪些位置有哪些参数。

以\Psi(1\phi\omega，\gamma\phi0)为例，小于 1 的只有 0，0\phi\omega 就直接被去掉了，但对于所有小于\omega 的\eta ，\Psi(1\phi\omega，\gamma\phi0)则会成为\Psi(x\phi\eta)的不动点。并且对于所有小于\gamma 的\xi ，鉴于\gamma\phi0 其实就是表示最右边的数为\gamma ，这其实就是表示第\gamma 个\Psi(x\phi\eta)的不动点，自然平凡的有\Psi(1\phi\omega，\xi \phi0)\lt\Psi(1\phi\omega，\gamma\phi0)，或者说\Psi(1，…，0，\xi )\lt\Psi(1，…，0，\gamma)

再以\Psi(2\phi\omega+\omega)为例，这里\gamma\phi0=0 ，但它并不是首个\Psi(1\phi\omega+\omega，x)的不动点，而是对于所有小于\omega+\omega 的\alpha ，都是\Psi(1\phi\omega+\omega，x\phi\alpha)的不动点。对任意\kappa ，\Psi(\lambda\phi\kappa)=\lambda 都是存在的，但对于 1\lt\lambda ，\Psi(\lambda\phi\kappa)=\kappa 是不存在的，毕竟\lambda\leq\Psi(1\phi\lambda)\lt\Psi(2\phi\lambda)，而\Psi(1\phi\lambda)的情况会对于所有\alpha\lt\lambda ，成为\Psi(x\phi\alpha)的不动点。

而所有这样得到的世界基数，都仍是小于最小不可达基数的世界基数。特别地，令定义中的\Psi\left(\alpha \right)=g_{F}\left(\alpha \right)更改为\Psi\left(\alpha \right)=W\left(\alpha \right)，W\left(\alpha \right)即第 1+\alpha 个世界基数，则都小于之前的\Psi\left(1，1 \right)具有的一个性质—— V_{\Psi\left(1，1 \right)}\models \varphi\leftrightarrow V_{\Psi\left(1，0 \right)}\models \varphi

假设\Psi\left(1，1 \right)是第\alpha\lt\lambda 个世界基数，V_{\Psi\left(1，1 \right)}满足存在\lt\alpha 个世界基数，则有 V_{\Psi\left(1，0 \right)}满足存在\lt\alpha 个世界基数，而\Psi\left(1，0 \right)本身亦是一个世界基数，与\Psi\left(1，1 \right)是第\alpha 个世界基数的假设矛盾。

假设\Psi\left(1，1 \right)是 W\left( 2，0 \right)，即最小的满足\lambda 是第\lambda 个世界基数，则 V_{\Psi\left(1，1 \right)}满足世界基数在其中无界，同样有 V_{\Psi\left(1，0 \right)}满足世界基数在其中无界，与\Psi\left(1，1 \right)是 W\left( 2，0 \right)的假设矛盾。

若对两个世界基数\alpha，\beta 有 V_{\beta}\models \varphi\leftrightarrow V_{\alpha}\models \varphi 则称\alpha 为大世界基数，将 W\left(\alpha \right)改写为 1+\alpha 个大世界基数，则\Psi\left(1，2 \right)具有的一个性质—— V_{\Psi\left(1，2 \right)}\models \varphi\leftrightarrow V_{\Psi\left(1，1 \right)}\models \varphi 同样超越这些。但需要注意的是，即使是{\Psi\left(1，0 \right)}都有 V_{\Psi\left(1，0 \right)}\models \varphi\leftrightarrow V_{\kappa}\models \varphi 的初等子模型，因而远大于此。

令 F_{X}=\left\{\varphi_{n}\left( X \right):n\in\omega \right\}是对所有以 X=\left\{\alpha: V_\alpha\prec V_\kappa\right\}为参数的公式的枚举，定义函数 g_{\varphi_{n}\left( X \right)}:{\kappa}\rightarrow {\kappa}为对任意 x_{1}，…，x_{n}\in V_{\alpha}，\exists x\in V_{g_{\varphi_{n}\left( X \right)}\left(\alpha \right)}{\varphi_{n}}\left( x，x_{1}，…，x_{n}，X \right)^{V_{\kappa}}， V_{g_{\varphi_{n}\left( X \right)}\left(\alpha \right)}即秩最小的\left\{ x :{\varphi_{n}}\left( x，x_{1}，…，x_{n}，X\right)^{V_{\kappa}}\right\}\cap{V_{\lambda}}\ne\oslash 的\lambda ，再定义 g_{F_{X}}\left(\alpha\right)=\bigcup \left\{ g_{\varphi_{n}\left( X \right)}\left(\alpha\right):\varphi_{n}\left( X \right)\in F_{X}\right\}，则对 g_{F_{X}}\left(\alpha\right)=\alpha 均有\left( V_\alpha，V_\alpha\cap X，\in \right)\prec \left( V_\kappa，X，\in \right)

称\kappa 是不可达基数，当且仅当对任意 X_1，…，…X_n\subseteq V_\kappa ，均存在\alpha\lt\kappa ，使得 V_{\kappa}\models \varphi\left( X_1，…，…X_n \right)\leftrightarrow V_{\alpha}\models \varphi\left( X_1\cap V_{\alpha}，…X_n\cap V_{\alpha}\right)。

假设\kappa 是奇异极限基数，考虑到共尾映射 f:\alpha\rightarrow \kappa ，取\left\{\alpha \right\}与 f 和相应的符号 U_{1}，U_{2}来定义模型\left( V_{\kappa}，\left\{\alpha \right\}，f，\in \right)\models\exists x\left( U_{1}\left( x \right)\wedge U_{2}:x\rightarrow Ond \right)，但对于任意\beta\lt\kappa ，\left( V_{\beta}，\left\{\alpha \right\}\cap V_{\beta}，f\cap V_{\beta}，\in \right)并不满足\exists x\left( U_{1}\left( x \right)\wedge U_{2}:x\rightarrow Ond \right)，因为 dom\left(f\cap L_{\beta}\right)\ne \alpha

假设\kappa 是正则后继基数，考虑到双射 f:\alpha^{+}\rightarrow \kappa ，取\left\{\alpha \right\}与 f 和相应的符号 U_{1}，U_{2}来定义模型\left( V_{\kappa}，\left\{\alpha \right\}，f，\in \right)\models\exists x\left( U_{1}\left( x \right)\wedge U_{2}:x^{+}\rightarrow Ond \right)，但对于任意\beta\lt\kappa ，\left( V_{\beta}，\left\{\alpha \right\}\cap V_{\beta}，f\cap V_{\beta}，\in \right)并不满足\exists x\left( U_{1}\left( x \right)\wedge U_{2}:x^{+}\rightarrow Ond \right)，因为\kappa=\alpha^{+}而\kappa 之下不存在一个\beta=\alpha^{+}=\kappa

假设\kappa=\omega ，则显然\left( V_{\omega}，\in \right)\models \forall x\exists y\left( x\in y \right)，而\left( V_{n}，\in \right)\models \neg\forall x\exists y\left( x\in y \right)

取 S\subseteq P\left(\kappa \right)满足\oslash\notin S 且 X=\left\{\alpha: V_\alpha\prec V_\kappa\right\}\in S 以及 X\in S\rightarrow H\left( X \right)=\left\{\alpha\lt\kappa:\left( V_\alpha，V_\alpha\cap X，\in \right)\prec \left( V_\kappa，X，\in \right)\right\}和对任意\gamma\lt\kappa 都有\bigcap_{a\lt\gamma} X_{\alpha}\in S 且有\left\{ X_{\alpha}:\alpha\lt\kappa\right\}\subseteq S\rightarrow\left\{\alpha＜\kappa:\alpha∈\bigcap_{\beta\lt \alpha} X_{\beta}\right\}\in S ，则称 S 是对\left\{\alpha: V_\alpha\prec V_\kappa\right\}的 0-闭包，记为 G\left(\left\{\alpha: V_\alpha\prec V_\kappa\right\}\right)

定义 S 上的选择函数 f\left( X \right)为 X 在\in 关系下的最小元，

取 S^{’}\subseteq P\left( P\left(\kappa \right)\right)满足\oslash\notin S^{’}且 S=G\left(\left\{\alpha: V_\alpha\prec V_\kappa\right\}\right)\in S^{’}以及 S\in S^{’}\rightarrow H^{’}\left( S\right)=G\left(\left\{\alpha\lt\kappa:\left( V_\alpha，V_\alpha\cap f\left[( V_\alpha\cap S \right]，\in \right)\prec \left( V_\kappa，f\left[ S \right]，\in \right)\right\}\right)和对任意\gamma\lt\kappa 都有 G\left(\left\{\alpha\lt\kappa:\left( V_\alpha，V_\alpha\cap \bigcap_{\beta\lt \gamma} f\left[ S_{\beta}\right]，\in \right)\prec \left( V_\kappa，\bigcap_{\beta\lt \gamma} f\left[ S_{\beta}\right]，\in \right)\right\}\right)\in S^{’}且有\left\{ S_{\alpha}:\alpha\lt\kappa\right\}\subseteq S^{’}\rightarrow G\left(\left\{\alpha\lt\kappa:\left( V_\alpha，V_\alpha\cap\left\{\alpha＜\kappa:\alpha∈\bigcap_{\beta\lt \alpha} f\left[ S_{\beta}\right]\right\}，\in \right)\prec \left( V_\kappa，\left\{\alpha＜\kappa:\alpha∈\bigcap_{\beta\lt \alpha} f\left[ S_{\beta}\right]\right\}，\in \right)\right\}\right)\in S^{’}

，则称 S^{’}为对\left\{\alpha: V_\alpha\prec V_\kappa\right\}的 1-闭包，记为 G^{’}\left(\left\{\alpha: V_\alpha\prec V_\kappa\right\}\right)

由于 S 上的选择函数 f 是 S 到\kappa 的单射，故|S|=\kappa 。又由于\supset 是 S^{’}上的良序关系，且 G\left(\left\{\alpha: V_\alpha\prec V_\kappa\right\}\right)是其中的最小元，故|S^{’}|=\kappa 。定义 S^{’}上的选择函数 f^{’}\left( S\right)为 S 在\supset 关系下的最小元，则 f\left( f^{’}\left( S\right)\right)为 f^{’}\left( S\right)在\in 关系下的最小元。

若\alpha 满足\left( V_\alpha，V_\alpha\cap f\left[ f^{’}\left[ S^{’}\right]\right]，\in \right)\prec \left( V_\kappa，f\left[ f^{’}\left[ S^{’}\right]\right]，\in \right)，则称\alpha 为 Nanachi

V_{\kappa}\models \forall \alpha\exists\beta\left(\beta=\aleph_{\alpha}\right)即可知\kappa 为极限基数，但\kappa 为正则基数则取决于不存在以\kappa 为值域的共尾映射的定义域非\kappa ，是一则相对于\kappa 的\Pi_{1}^{1}命题。