第23章 绝对无穷

不可达基数及其之上的大基数其本质都是对绝对无穷的在“宽度”（表现力）上的可见证的逼近和模拟，因此绝对无穷自然的拥有大基数的全部性质。

绝对无穷Ω如果存在，应该是：

Dedekind的，不可数的，具有滤的形式，具有真类的势，

是世界的，是弱不可达的，强不可达的，Mahlo的，不可描述的，不可言喻的，不可区分的，Ramsey的，

是大基数，是反射论证的，可测的，超可测的，强大的，高大的，Woodin的，

无限谓词的，亚紧致的，是超大基数，强紧致的，超紧致的，

可扩的，Vopenka的，是巨基数，高度跳跃的，阶对阶的，Icatus的。

目前不知道是否有的性质：非良基，不可遗传序数可定义，不可选择，不一致

其中只有“具有真类的势”是描述高度的，其他都是描述宽度的。

相同点：

两者都是预设一个位于集合运算之外仍能无矛盾成立的新基数，也就是所谓的不可达性。理所当然的这是一切无穷公理的通用性质。

宣告这些新基数的一致的公理系统T的有限公理片段都存在可数传递模型。naive地解读，就是，如果你有一个有限的Con(T)，那么你也有Con(T+Con(T+Con(T+…)))。这是绝对无限的反射原理的弱化形式。

公理系统内的有限个句子都是绝对的。这还是绝对无限的反射原理的弱化形式。

任何稍强的大基数都具有反射论证性质。naive地解读，就是支持反射论证的大基数的关键点，在其下方都具有“绝对无限多个”同样性质的大基数。

理想的绝对无限Ω可以naive地看作为终极数学宇宙（柏拉图宇宙/冯洛依曼宇宙）V的基数，普通的[公式]则是自然数集合的基数，而大基数就是反射论证非平凡关键点的基数。反射论证理所当然的还是反射原理的弱化形式。

它们都是V≠L的实例，和V=L（可构造集合宇宙）不相容。

不同点：

绝对无穷曾经有两次直接引入的尝试，但都不怎么成功（第一次是康托尔，被康托尔悖论+罗素悖论+布拉利-福尔蒂悖论三连击败引发第三次数学危机；第二次是Berkeley cardinal伯克利基数，被选择公理AC排斥）；然而大基数的引入是相当成功的。

大基数都居于V=WF（良基集合宇宙）之内，而目前能够勉强运作的绝对无穷的衍生物都是居于V≠WF（非良基集合宇宙）之上并且是V=WF的非保守扩张。

不可达基数及其之上的大基数有着非常重要的运用，比如取消分球悖论，导出ZFC一致性，二阶算术完备，而绝对无穷并没有发现有什么特别的用途，并没有发现有什么特别的用途，并没有发现有什么特别的用途。

绝对无限的衍生物所具有的特异性质：

伯克利基数以及在其之上的基数如果是和ZF一致的将会证否V=HOD和Ω-猜想。并且有可能会引发第四次数学危机推翻第二次数学危机以来的成果：没有选择公理，实分析就和没有地基一样。

如果是朴素意义的作为V的基数的绝对无限Ω，在新基础集合论New Foundations， NF里面是可以存在的。但是，绝对无穷只是“目测”起来很强很大，它在一致性强度和证明论强度看起来可以说并不强，而强大的标准其实是非常哲学的判断，是没有唯一定论的。非要按照康托尔原来的进路去理解绝对无穷/全类/真类其实是很钦定的行为，没啥意思

在NF中的绝对无限Ω如果你对它施加幂集，得出的结果反而会跌落绝对无限的神坛，也就是[公式]。

某种程度来看这是最强的不可达性：任何对绝对无限集的重构结论都会低于绝对无限。

人话地描述这个过程的话，幂集操作乃至于一切集合运算就好像一个平底锅，它接住一个两个一系列集合，就会重构集合里面的元素，重新冶炼这些集合。

而对于绝对无限Ω来说，它里面具有大量的集合元素是不能再施加冶炼的（非康托尔式集合），NF这个汤锅就好像一个筛子丢弃这些元素保持NF的一致性，然后再冶炼，因此Ω的幂集远远不能和Ω相比。如果是一般的集合论比如ZF，无法舍弃这些元素，就会陷入越大的基数会有更大的基数的怪圈，因此Ω不被这些集合论相容。而这个性质刚好也符合我们对绝对无限的直观。