第五节　简单平面桁架的内力计算

桁架是由若干根直杆两端铰接而组成的承载结构,它在受力后几何形状不变。

所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架,否则称为空间桁架。桁架中杆件的铰接点称为节点。

因为桁架具有结构重量轻、承载量大、制造成本低等优点,因此常用在工程结构中。例如屋顶的房架,如图2-30所示。桥梁也经常由桁架组成,如图2-31所示。还有油田的井架、起重机、电视塔钢架等。

本节只研究平面桁架中的静定桁架。如果从桁架中任意除去一根杆件,则桁架就会活动变形,这种桁架称为无余杆桁架。可以证明只有无余杆桁架才是静定桁架。如图2-32(a)所示的桁架就属于这种桁架。反之,如果除去某几根杆件仍不会使桁架活动变形,则这种桁架称为有余杆桁架,如图2-32(b)所示。图2-32(a)所示的无余杆桁架是以三角形框架为基础,每增加一个节点需增加两根杆件,这样构成的桁架又称为平面简单桁架。容易证明,平面简单桁架是静定的。

在计算桁架中各杆内力时,常引入以下三条假设,对实际桁架进行理想处理:

(1)各杆均为直杆,且不计自重。

(2)各杆均为光滑铰链连接。

(3)所有外力都作用在节点上。

在这样简化之后,桁架中各杆都成为二力直杆,因此各杆只受轴向拉力或压力。计算时可假设各杆均受拉力,计算后由各内力数值的正负号表示内力是拉力还是压力(拉力为正,压力为负)。

因此桁架处于平衡状态,故可取其中任何部分作为研究对象。一般先取整体,求得整体的约束反力,然后再取各个部分,求杆的内力。

求桁架的内力一般采用节点法或截面法。

所谓节点法,是指每次取一个节点作为研究对象。由于每个节点上都作用着一个平面汇交力系,因此可以列出两个平衡方程并求得两个未知力。为避免解联立方程,应当每次取一个节点,其中只包含两根未知内力的杆,依次取下去,可以求得全部杆件的内力。

所谓截面法,就是假想用一个截面将桁架中若干根杆截开,将桁架截成两个部分,取其中一部分为研究对象,求得截面处各杆的内力。由于所取的研究对象上一般作用着平面任意力系,故有三个独立的平衡方程,可解出三个未知内力,这就是说所取的截面每次只能截开仅有三根未知内力的杆,方可求出它们的内力。

节点法适用于求桁架中所有杆件内力的情况,而截面法更适合于只求桁架中某几根杆的内力情形。下面通过例题介绍其应用。

【例2-12】　一桁架的结构尺寸如图2-33(a)所示。已知载荷F1=400N,F2=1200N,求各杆内力,并指出每根杆受拉力还是压力。

解:(1)取整体为研究对象,求约束反力。

(2)用节点法求各杆内力。先取节点A,受力图如图2-33(b)所示。

代入FAx、FAy的数值后解出

再取节点C,受力图如图2-33(c)所示。

依次取节点E、F、B,受力图分别如图2-33(d)～(f)所示,可分别列出投影方程并解出

在解题时,各杆内力均按拉力假设,计算出结果后,正值表示拉力,负值表示压力。

在以上例题中都是用解析法计算,也可以采用几何法,即作出力三角形求解,请读者一试。

【例2-13】　平面桁架受力图如图2-34(a)所示。已知FC=100kN,FE=FG=20kN,试求其中4、5、7、10杆的内力。

解:(1)取整体为研究对象,求出约束反力。

(2)由节点法求解,依次取节点A、C、D、E,其受力图如图2-34(b)～(e)所示,通过列投影方程可解出

在这里,由于采用节点法,必须从只含两个未知内力的节点开始依次取各节点为研究对象,因而为求4、5、7、10杆的内力,须先求出1、2、3、6杆内力做准备。这显然增加了计算工作量。

(3)用截面法求4、5、7、10杆的内力。作截面Ⅰ-Ⅰ将4、5、6杆截开,取左部分为研究对象,如图2-35所示。

再作截面Ⅱ-Ⅱ将4、5、7、10杆截开,取右部分为研究对象,如图2-36所示。

F7可由∑Fy=0求出,但也可由节点E的受力情况直接看出,即

由此例可以看出:节点法与截面法各有特点,节点法解题思路简单,但计算工作量较大;截面法比较灵活,计算量相对节点法要少。有时这两种方法互相结合,对解题是有利的。