第二节　力对点的矩和力对轴的矩

一、力对点的矩以矢量表示——力矩矢

对于平面力系,用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要素。但是在空间情况下,不仅要考虑力矩的大小、转向,而且还要注意力与矩心所组成的平面(力矩作用面)的方位。方位不同,即使力矩大小一样,作用效果将完全不同。这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。其中矢量的模即|MO(F)|=F·h=2A△OAB;矢量的方位和力矩作用面的法线方向相同;矢量的指向按右手螺旋法则来确定,如图3-4所示。

由图3-4易见,以r表示力作用点A的矢径,则矢积r×F的模等于三角形OAB面积的两倍,其方向与力矩矢一致。因此可得

上式为力对点的矩的矢积表达式,即:力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。

若以矩心O为原点,作空间直角坐标系Oxyz如图3-4所示。设力作用点A的坐标为A(x,y,z),力在三个坐标轴上的投影分别为Fx,Fy,Fz,则矢径r和力F分别为

代入式(3-11),并采用行列式形式,得

由上式可知,单位矢量i,j,k前面的三个系数,应分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影,即

由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关,故力矩矢的始端必须在矩心,不可任意挪动,这种矢量称为定位矢量。

二、力对轴的矩

工程中,经常遇到刚体绕定轴转动的情形,为了度量力对绕定轴转动刚体的作用效果,必须了解力对轴的矩的概念。

现计算作用在斜齿轮上的力F对z轴的矩。根据合力矩定理,将力F分解为Fz与Fxy,其中分力Fz平行z轴,不能使静止的齿轮转动,故它对z轴之矩为零;只有垂直z轴的分力Fxy对z轴有矩,等于力Fxy对轮心C的矩[图3-5(a)]。一般情况下,可先将空间一力F,投影到垂直于z轴的Oxy平面内,得力Fxy;再将力Fxy对平面与轴的交点O取矩[图3-5(b)]。以符号Mz(F)表示力对z轴的矩,即

力对轴的矩的定义如下:力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量,是一个代数量,其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。其正负号如下确定:从z轴正端来看,若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动,则取正号,反之取负号。也可按右手螺旋法则确定其正负号,如图3-5(c)所示,拇指指向与z轴一致为正,反之为负。

力对轴的矩等于零的情形:①当力与轴相交时(此时h=0);②当力与轴平行时(此时|Fxy|=0)。这两种情形可以合起来说:当力与轴在同一平面时,力对该轴的矩等于零。

力对轴的矩的单位为N·m。

力对轴的矩也可用解析式表示。设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx,Fy,Fz,力作用点A的坐标为x,y,z,如图3-6所示。根据式(3-14),得

即

同理可得其余二式。将此三式合写为

以上三式是计算力对轴之矩的解析式。

【例3-2】　手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F,如图3-7所示,它在垂直于y轴的平面内,偏离铅直线的角度为θ,如果CD=a,杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴,AB和BC的长度都等于l。试求力F对x,y,z三轴的矩。

解:力F在x,y,z轴上的投影为

力作用点D的坐标为

代入式(3-9),得

本题亦可直接按力对轴之矩的定义计算。

三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系

比较式(3-13)与式(3-15),可得

式(3-16)说明:力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影,等于力对该轴的矩。

式(3-16)建立了力对点的矩与力对轴的矩之间的关系。

如果力对通过点O的直角坐标轴x,y,z的矩是已知的,则可求得该力对点O的矩的大小和方向余弦为