2．6　应力球张量与偏张量

2．6．1　概念

弹塑性力学中物体的变形通常可以分为体积改变和形状改变两种，体积改变往往是由各个方向相等的应力引起的（如静水压力），实验证明，这种应力作用下固体发生的变形一般是弹性变形，而塑性变形往往由形状改变产生。根据这一特点，在弹塑性力学中可以将应力状态进行分解如下：

其中σmδij称为应力球张量。

σm称为平均正应力或静水应力。

sij称为应力偏张量，简称为应力偏量。

2．6．2　应力椭球面

应力球张量只有3个相等的正应力分量，切应力分量为0，它表示了一种各向相同的“球形”应力状态。

如图2．6．1所示，令任一斜面n上的应力矢量p在主向空间中的方向矢量为（l1，l2，l3），那么沿1、2、3轴的应力分量为

根据有

这是以p1、p2、p3为变量的椭球面方程，称为应力椭球面。也就是说，如果经过O点的每个截面上的应力都用应力矢量p（分量为p1、p2、p3）表示的话，则以O点为起点的这一矢量终点都落在应力椭球面上，如图2．6．1（b）所示。从应力椭球面也可以看出，在通过同一点的所有截面上的正应力中，最大和最小的都是主应力。

当σ1＝σ2＝σ3＝σm时，式（2．6．5）为一球面方程，应力椭球面成为一个半径为σm的球面，球张量因此而得名。

2．6．3　应力偏量的不变量

和应力张量一样，应力偏量也可以求对应的主应力，以张量形式表示的求解方程组与式（2．5．5）类似，为

式中：sn为应力偏量对应的主应力；lj（j＝1，2，3）为主方向与坐标轴间夹角的方向余弦。上式是以lj为未知量的线性代数方程组，存在非零解的条件是系数行列式为0，即

展开后得

其中

J1、J2、J3称为应力偏量的第一、第二、第三不变量。求解关于sn的三次方程式（2．6．8），3个根即为应力偏量的主应力s1、s2、s3。然后利用式（2．6．6）可确定主方向。可以证明，应力偏量与应力张量的主方向一致。

当坐标轴取为主应力σ1、σ2、σ3的方向时（即主向空间），应力偏量不变量的计算公式可以进一步简化：

式（2．6．13）中J2的表达式与材料力学中应力单元体的形状改变应变能密度公式相近，为

因此应力偏量的第二不变量与单元体的形状改变有关。

2．6．4　八面体平面

与主向空间的3个坐标轴方向等倾斜的面称为八面体平面（图2．6．2），其法线方向余弦满足：

因此法线与各坐标轴（主应力方向）的夹角约为54．7°，其上的正应力和切应力为

在非主向空间的情况下，更一般的八面体平面切应力表达式为

比较式（2．6．18）与式（2．6．13），八面体平面切应力与应力偏量的第二不变量之间存在以下关系

显然，八面体切应力也与物体的形状改变有关。