2.2 深基础承载力的理论计算方法
深基础地基的极限轴向承载力Qu一般由端部极限承载力Qb和侧摩阻力Qs组成，即
其中基础底部的端部极限承载力由式（2.2.2）表示，即
式中：qu为单位端部承载力，kPa；Ab为桩端面积，m2。
基础的极限侧摩阻力由式（2.2.3）表示，即
式中：fs为单位侧摩阻力，kPa；As为桩侧表面积，m2。
2.2.1 太沙基深基础承载力理论
太沙基理论［4］认为，当圆柱形墩式深基础在荷载作用下达到破坏时，在基底平面以下形成连续的滑动面，在形成此滑动面的过程中，由于ad环形区域下的土直接受到基础下的土所给予的侧向挤压，使这块土有向上移动并驱使环形面积ad以上的土体也产生了向上的相对移动，从而在环形面积以上土体的边界de和墩式基础侧面与土之间分别产生了向下的剪阻力τ和摩阻力fs，如图2.2.1所示。圆形墩式深基础底部的极限承载力可按圆形浅基础的相同形式来表示，即
图2.2.1 太沙基方法计算深基础承载力
式中：Nc、Nq、Nγ为承载力系数，由基底以下土的φ值从图2.2.2中查取；d为基础的埋深；R为圆形基础的半径；γ1为基底以上土的等效容重，根据环形面积ad上移时其轴向力的平衡条件来确定。
图2.2.2 基底完全粗糙时Nc、Nq、Nγ与φ的关系曲线
设环形的半径为nR，如图2.2.1所示，则等效容重可表示为
式中：γ0为基底以上土的容重；fs为基础侧面与土之间极限侧摩阻力；τ为环形圆柱体边界de上的剪阻力，一般情况下0＜τ＜τf（土的抗剪强度）。
2.2.2 迈耶霍夫深基础承载力理论
迈耶霍夫［5-8］认为普朗特尔和太沙基等人将滑动面的终点限制在与基底同一水平向面上并且不考虑基础两侧土体抗剪强度的影响是不符合实际的。因此，他提出应该考虑到地基土的塑性平衡区随着基础的埋置深度不同而扩展到最大可能的程度，并且应考虑基础两侧土体抗剪强度对承载力的影响。但是由于数学上的困难而无法得到严格的解答，最终他以下列假定为基础，用简化的方法导出条形基础受中心荷载作用时均质地基的极限承载力公式。
图2.2.3 迈耶霍夫方法计算深基础承载力
当深基础达到破坏时，其破坏区被限制在地基内部某一范围内，如图2.2.3所示。对于这种情况下的基底极限承载力qu可按式（2.2.6）计算，式中的承载力系数Nc、Nq和Nγ应在图2.2.4中60°＜β＜90°的范围内查取。
式中：Nc、Nq、Nγ为承载力系数，均与φ、β和η有关，而η又受到“等代自由面”上抗剪强度的动用系数m的控制；σ0为基础底面上的法向应力，可用该式计算
tanδsin2β＋
图2.2.4 式（2.2.6）中的Nc、Nq、Nγ与φ、β、m的关系曲线
（a）Nc与φ、β、m关系曲线；（b）Nq与φ、β、m关系曲线；（c）Nγ与φ、β、m关系曲线
2.2.3 别列柴策夫深基础承载力理论
别列柴策夫［9］（Berezantzev）等人对类似于太沙基的地基破坏模式（图2.2.5），提出基底极限承载力的计算公式由下列两项组成，即
式中：Nq、Nγ为承载力系数，由基础下土的φ值从图2.2.6中查取；qD为基础平面处的超载，qD＝αTγ0d，αT取决于基底以上土的φ值和d/B值，可查表2.2.1。
表2.2.1 衰减系数αT值
图2.2.5 别列柴策夫计算承载力
图2.2.6 式（2.2.7）中的Nq、Nγ与φ关系曲线
2.2.4 胡的深基础承载力理论
胡［10］（Hu G.C.Y.，1965）根据图2.2.7右侧所示的破坏面形状，提出了条形深基础底部极限承载力的计算公式：
图2.2.7 胡的方法计算承载力
式中：Nc、Nγq为承载力系数，取决于基底下土的φ值和深宽比d/B值，可分别从图2.2.8和图2.2.9中查取。
图2.2.8 式（2.2.8）中Nc与φ、d/B关系曲线
图2.2.9 式（2.2.8）中N与d/B、φ关系曲线
1.当d/B＜1时，查图中的虚线；2.当d/B＜30时，可以进行外延。
对于φ＝0的情况，则式（2.2.8）中的Nc值应乘以斯肯普顿的深度系数（1＋0.2d/B），其中d/B的最大值为2.5。
若基础为长方形或圆形，则应加形状系数修正。修正后的极限承载力公式为
式中：L为基础长度；sγ为γ项的形状修正系数，按下列方式选用。
当Nγq值在图2.2.9中的mc曲线以下时，长方形基础的sγ＝1-0.2B/L，圆形基础sγ＝0.6；当Nγq值在mc曲线以上时，对于φ≤30°，长方形基础的sγ＝1-0.05B/L，圆形基础的sγ＝0.75；对于φ＞30°，长方形基础的sγ＝1-0.1B/L，圆形基础的sγ＝0.7。
对于φ＝0的情况，则式（2.2.9）改写为下列形式，即
深基础侧面的总侧摩阻力，一般可用式（2.2.11）计算，即
式中：Asi为埋入第i层土层桩侧表面积；fsi为第i土层与基础侧面的单位极限侧摩阻力；σxi为表面积Asi上的平均侧向应力；δi为第i土层与基础侧面之间的摩擦角；cai为第i土层与基础侧面之间的黏着力，可参照下列桩侧面黏着力的方法确定。
平均侧向应力可根据相应深度处的轴向应力σγi确定，即
若以有效应力来表示，则式（2.2.12）改为式（2.2.13），即
式中：Ki为第i土层的侧向土压力系数，与土的种类和基础的埋设方法有关，一般ka＜K＜kp，其中ka为主动土压力系数，kp为被动土压力系数；hi为第i土层的厚度；hw为计算深度处的测压管水头。
2.2.5 桩基承载力相关理论
桩是典型的深基础，上述深基础极限承载力计算公式在一般情况下均适用于桩基承载力计算。
图2.2.10 短桩的Nc-d/D关系曲线
对于饱和黏土，桩的极限轴向承载力可直接写成如下形式：
式中：su为桩端处土的不排水剪强度；Nc为承载力系数，一般取为9，但对于深宽比d/D＜5的短桩（D为桩的直径），其Nc值应从图2.2.10中查取；ca为桩与土之间的平均黏着力，它与土的强度和桩的施工方法有关。
对于打入无黏性土中的桩，极限轴向承载力应用式（2.2.1）计算。
而上述理论计算公式中相关系数的确定，有如下的几种方法。
1.迈耶霍夫法
（1）黏土中系数的确定。黏土的ca值受土体有效强度参数的控制，即
通常可假定c′＝0，于是式（2.2.15）可简化为
式中：β为表面摩擦系数，与桩的入土深度有关，如图2.2.11所示。
上述ca关系式也适用于硬黏土。硬黏土的侧向土压力系数K与土的超固结比有关，按下式估算，即
对于打入黏性土中的桩，单位桩端承载力按下式确定，即
式中：Nc、Nq为承载力系数，可根据桩端下上的φ值和深宽比d/B（或db/B）从图2.2.12中查得；qm为临界深度dc下桩端极限承载力。
图2.2.11 β与桩的埋深d关系曲线
图2.2.12 桩的Nc、Nq与φ和d/B的关系曲线
（2）无黏性土中系数的确定。无黏性土中单位桩端承载力按下式计算：
式中：γ0为桩端以上土的容重，kN/m3；d为桩的埋深，m；Nq为桩端承载力系数，它是桩端下土的内摩擦角和深宽比d/B的函数，可从图2.2.12中查得，当桩穿过松软土而支承在紧砂中时，则深宽比应改为db/B，其中db为桩进入持力层的深度。
该方法中明确指出，单位桩端承载力qu并不像式（2.2.19）中所表示的那样一直随着埋深d的增加而增大，而是有一定限度，当桩的埋深在该限度之内时，单位桩端承载力随着d的增加而增大。当桩的埋深超过该限度时，qu不随d的增加而增大并且近乎保持不变。将该限度定义为桩的临界深度，以dc表示，如图2.2.13所示。
图2.2.13 桩的临界深度示意图
根据上述观点，按式（2.2.19）计算时应满足下列条件，即
式中：ql为单位桩端承载力的极限值，它随持力层土的φ值而变化，如图2.2.14所示。
桩侧表面平均极限摩阻力fs按式（2.2.21）计算：
式中：K为侧向土压力系数，建议取K＝k0～4k0，其中k0＝1-sinφ′；σv′为平均轴向有效应力；δ为外摩擦角。
图2.2.14 qlφ关系曲线
图2.2.15αsu关系曲线
2.托姆林森法［11］
（1）黏性土中系数的确定。桩土之间的平均黏着力ca可根据土的不排水剪强度su来确定，即
式中：a为无量纲化系数，与土的密度和桩的埋入方法有关。若为打入桩，由土的不排水剪强度su从图2.2.15中查取。
（2）无黏性土中系数的确定。K和δ值参照下表2.2.2使用，打入桩可查紧密土的K值，钻孔桩可查疏松土的K值。
表2.2.2 侧向土压力系数K和δ值
3.标准贯入击数法
无黏性土中桩的极限轴向承载力也可根据标准贯入击数来确定。其中桩端极限承载力，取值如下（单位为kPa）：
在细砂或中砂中的打入桩
在粗砂或砾石中的打入桩
任意无黏性土中的钻孔桩
式中：N为未经修正的标准贯入击数；d为桩的埋深；D为桩的直径。
桩侧表面的极限侧摩阻则取值如下：
大直径的打入桩
一般尺寸的打入桩
式中：
为沿桩长未经修正的平均标准贯入击数。
根据以上各式，求得桩的极限轴向承载力Qu后，再将其除以安全系数Fs，即可得到深基础或桩的允许极限承载力Qa，即Qa＝Qu/Fs，一般可取Fs＝2～3。