任务1.3　用水平面代替水准面的影响

小范围内测量时允许把该测区的水准面看成水平面，但随着测区面积的增大，由此产生的误差也增大。下面分析当测区范围究竟为多大时，用水平面代替大地水准面所产生的距离、高程、角度变形才不超过测图误差的允许范围。

1.3.1　对距离的影响

如图1.9所示，用该地区中心点的切平面代替大地水准面，则地面点A、B在大地水准面上的投影分别为a、b，在水平面上的投影分别是a′、b′，D、D′分别为地面两点在大地水准面上与水平面上的投影距离，可推导出用水平面代替水准面对距离的影响值：

式中：ΔD为距离误差，mm。

式中：为相对误差。

地球半径R取6371km时，的值见表1.1。

从表1.1可以看出，当距离D＝10km时，产生的距离相对误差为1/1200000，这样小的误差，即使是精密量距，也是允许的。因此，在以10km为半径的圆面积之内进行距离测量时，可以用切平面代替大地水准面，而不必考虑地球曲率对距离的影响。

1.3.2　对角度的影响

从球面三角学可知，同一空间多边形在球面上投影的各内角和，比在平面上投影的各内角和大一个球面角超值ε，即

式中：ε为球面角超值，（″）；S为球面多边形的面积，km2；R为地球半径，km；ρ为一弧度的秒值，ρ＝206265″。

以不同的面积S代入式（1.8），可求出球面角超值，见表1.2。

由表1.3可以看出，当面积S＝100km2时，用水平面代替水准面所产生的角度误差仅为0.51″，所以，在测量工作中，用水平面代替水准面引起的水平角误差可以忽略不计。

1.3.3　对高程的影响

如图1.9所示，可以推导出用水平面代替水准面对高程的影响值为

式中：Δh为高差误差，mm。

当R＝6　371km时，Δh值见表1.3。

Δh是随距离平方的增加而增加的。当距离D＝200m时，就有3.1mm的高程误差，这是不允许的，因此，进行高程测量时，即使距离很近，也要考虑地球曲率对高程的影响。