2．不必测量的几何学

想必学生时代的几何学给你留下了难忘的记忆：几何学是一门测量空间的学问[1]，这个学科中有大量的定理，描述了各种距离和角度之间的数值关系（例如，著名的毕达哥拉斯定理，它研究的就是直角三角形三条边的关系）。实际上，想要研究空间最基本的属性，根本用不着测量任何长度或角度，人们将探讨这些问题的几何学分支称为拓扑学（analysis situs或topology）[2]，它是数学中最有挑战，也是最难的一个领域。

图13 一个球体经过切割变形成为一个多面体。

我们来看一个典型的拓扑学问题。想象一个封闭的几何面（比如说球面）被许多条线段分割成了无数个独立区域。要画出这样一个图形，我们可以在球面上找出任意数量的点，用彼此不相交的线段把这些点连接起来（如图13）。现在的问题是，初始点的数量、相邻区域的边界线数量、划分出来的区域数量——这三者之间到底有着怎样的关系？

首先，不难看出，如果我们把这个球压扁，比如变成像南瓜这样的扁平物体，或是像黄瓜那样拉长的形状，图形里点、线和区域的数量是不会发生变化的。实际上，我们可以拿一个橡皮球，任意改变它的形状（比如拉伸、挤压或是做任何变形），只要你让它保持封闭的表面，不把它割开或是撕破，那么我们的推断和结论就不会发生一丁点儿改变。这和几何学中常见的数值关系（比如线段长度、面积和体积间的关系等）形成了鲜明的对比。如果我们把一个立方体拉伸成一个平行六面体，或是把一个球体压成一个薄饼，这些数值关系就会发生很大变化。

图14 五种正多面体（只存在这五种）和一个不规则的畸形多面体。

我们已经将这个球体分割成了若干个独立区域，接下来，再把每个区域压平整，这样原先的球体就成了一个多面体。之前区域间的边界线成了多面体的棱线，而之前的点就变成了它的顶点。

现在，之前的问题被重新定义成了一个新的问题（实质没有发生改变）：任意类型的多面体里，顶点、棱和面之间具有的数量关系。

图14向我们展示了五个正多面体（每一个面上都有同样数量的棱和顶点），还有一个随手画出来的不规则多面体。

我们可以计算出每个几何体里，顶点的数量、棱的数量和面的数量。如果它们之间确实存在数量关系，这种关系又该如何描述？

我们把直接数出来的数据填入下列表格。乍看之下，这三列数据（V、E、F）之间似乎没有什么特定的关系，不过稍加研究，你就会发现每一行V和F的数值之和总是等于E加上2。因此，我们可以写出如下的数学等式：

V+F=E+2

这一等式是只适用于图14中五种多面体，还是对所有多面体都适用？如果你试着画几个和图14里不一样的多面体，数出它们的顶点、棱和面的数量，就会发现上述等式适用于每种情况。显然，V+F=E+2是拓扑学中一个通用的数学定理，因为这个等式不需要测量出棱的长短、面的大小，它只关注不同的几何单元（也就是顶点、棱和面）的数量属性。

我们刚刚发现的多面体顶点、棱和面之间的数量关系，最早是由17世纪法国著名数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）留意到的。后来另一位数学天才莱昂纳德·欧拉则给出了这个定理的严格证明，因此这个定理也被称为“欧拉定理”（Euler's theorem）。

以下是多面体欧拉定理的完整证明，引自R．柯朗（R. Courant）与H．罗宾（H.Robbins）合著的《什么是数学》一书[3]，我们来看看这类证明是如何进行的：

“为了证明欧拉的公式，我们先要把一个给定的简单多面体想象成空心的，表面是拿薄橡胶制成的（图15a）。接下来，如果剪去这个空心多面体的其中一面，就可以把剩下的面展开，平铺到一个平面上（图15b）。在这个过程中，多面体的表面积和棱之间的夹角会发生改变，但是，顶点和棱的个数仍然和之前保持一致。但是别忘了，面的数量比原来少了一个，因为我们刚刚剪掉了一个面。现在，我们来证明，对于这个平面图形，V-E+F=1，这样，如果把剪掉的面计算在内，原来的多面体就会满足欧拉定理：V-E+F=2。

“首先，我们采用下面的方法，给平面上的图形做‘三角形处理’：找出还不是三角形的多边形，给它们画出一条对角线。这样做会使E和F都增加1，因而不会改变V-E+F的值。现在继续连接顶点，作对角线，直到平面图形里全部都是三角形——最终必然如此（图15c）。在整个平面图形里，V-E+F的值与‘三角形处理’之前完全相等，因为画上对角线不会让它发生改变。

“现在，有部分三角形的边位于图形边缘，其中有些三角形（如ABC）只有一条边落在边缘，有些则会有两条边落在边缘。对于这部分三角形，我们去掉它与其他三角形不交接的部分（图15d）。例如，我们从ABC中去掉边AC和它的面，留下A、B、C三个顶点，以及AB、BC两条边；从DEF中去掉它的面、两条边DF和FE，以及顶点F。

图15 欧拉定理的证明。图上画的是立方体，不过上述结论对任何多面体都适用。

“去掉ABC这类三角形，E和F会各减少1，而V不受影响，所以V-E+F保持不变。去掉DEF这类三角形，V和F各减少1, E减少2，所以V-E+F也不会变。按照恰当的顺序操作，我们就可以依次去掉所有位于边缘的三角形（边缘也会随之不断发生改变），直到最后剩下一个三角形。它有3条边、3个顶点和1个面，对这个简单图形来说，V-E+F=3-3+1=1。我们已经看到，不断地消去三角形，不会改变V-E+F的值，所以，最初的平面图形上，V-E+F也必定等于1；消去了一个面的多面体上，这个值也等于1。由此，我们得出结论，完整的多面体满足V-E+F=2。这就完全证明了欧拉的公式。”

此外，欧拉定理还有一个有趣的推论，那就是只存在五种正多面体，也就是图14中画出的那五种。

不过，如果你认真阅读了上述几页的讨论，或许会留意到，我们在绘制“各种不同类型”的多面体示意图（如图14所示）时，还有在进行欧拉定理的数学推导时，有一个隐含的假设，这导致我们在选择多面体时具有相当大的局限性。我们只选了那些上面没有任何穿孔的多面体，当我们在说“穿孔”的时候，不是指橡皮球上漏气的小孔，而是像甜甜圈或是橡胶轮胎中间那样的孔。

看一下图16，你就会弄清上面所说的含义。我们在图上看到两种不同的几何体，和图14一样，它们同样是多面体。

图16 两个“另类”立方体，内部分别有一个洞和两个洞。它们的表面也不是严格意义上的矩形，但正如我们前文所说，这在拓扑学里并不重要。

现在我们来看看欧拉定理是否适用于这两个新的多面体。

第一种情况下，我们可以数出共有16个顶点、32条棱和16个面，因此V+F=32，而E+2=34。而第二种情况下，共有28个顶点，46条棱和30个面，因此V+F=58，而E+2=48。又错了！

为什么会这样？我们上面给出的具有普遍意义的欧拉定理证明为何会在这里失效呢？

问题显而易见。我们上面考虑的多面体都可以视为足球内胆或气球，但是新的空心多面体更像是轮胎或更加复杂的橡胶工业制品。对于后一类多面体，上面的数学证明是不适用的，因为对于这类多面体，我们在证明过程中的操作步骤根本无法落实。我们之前说过，需要“剪去这个空心多面体的其中一面，就可以把剩下的面展开，平铺到一个平面上”。如果你拿一个足球内胆，用剪刀在它表面剪掉一部分，那么很容易实现这个操作。但是一个轮胎，不论你多么努力，根本没法成功做出这一步。如果只是看一下图16还不足以让你确信这一点，那就不妨找一个旧轮胎来试试吧！

不过，不要以为较复杂多面体的V、E、F之间不存在关系。三者确实有关系，却是不同于一般欧拉定理的关系。对于甜甜圈形状的多面体，更准确地说，环形多面体，有V+F=E；对于“椒盐饼”[4]形状的多面体，则有V+F=E-2。更通用的表达式是V+F=E+2-2N，其中N是孔的数量。

另一个和欧拉定理密切相关的典型拓扑学问题，叫作“四色问题”。假设有一个球面被细分为了若干个独立的区域，我们现在要给这些区域上色，让相邻的两个区域（即拥有共同边界的区域）颜色各不相同。想要完成这样的任务，我们至少需要使用多少种不同的颜色？很明显，一般来说只有两种颜色是不够的，因为当三个州的边界集中在一点时（例如图17中，美国地图上的弗吉尼亚州、西弗吉尼亚州和马里兰州），我们就需要用不同的颜色来表示这三个州。

我们也不难找出，在另一个例子中（德国吞并奥地利时期的瑞士）有必要使用四种颜色（图17）[5]。

但是，不管你怎么努力，无论是在地球仪上，还是在一张平铺的纸上，永远都无法绘制出一张需要四种颜色以上的地图[6]。如此看来，不论我们把地图画得多么复杂，四种颜色足以避开边界上的混乱。

图17 马里兰州、弗吉尼亚州和西弗吉尼亚州（左图）以及瑞士、法国、德国和意大利（右图）的拓扑地图。

如果最后这个结论是正确的，那么我们应该可以用数学方法来证明它。可惜，经过几代数学家的努力，这个结论迄今还没有得到证明。在此，我们再一次遇到一个实际上无人怀疑，但也无法证明的经典数学命题。如今，数学家们已经证明，五种颜色肯定是足够的，这也是目前已有的最好结果。证明过程中也用到了欧拉定理，计算出了相邻国家的数量、边界线的数量，以及多个国家交界处三重、四重交点的数量。

因为上述证明过于复杂，会使我们偏离讨论的主题，所以在此就不再详述。有兴趣的读者们可以在众多拓扑学主题的书籍中找到它，在思考中度过一个愉快的夜晚（或者是一个不眠之夜）。如果有谁能够证明出来，不但五种颜色够用，就连四种颜色也足够给任何地图上色，或是怀疑这个命题的正确性，画出一张四种颜色不够用的地图——只要成功做到其中任意一条，他的名字就会永载理论数学的史册。

讽刺的是，虽然球面或平面上的“四色问题”还没有成功解决，但是在更复杂的面（如甜甜圈或椒盐卷饼）上，数学家却早已找出了相对简单的证明方法。例如，人们已经证明，只要有七种不同的颜色，就可以在甜甜圈上画出相邻区域颜色各不相同的地图来，而且已有图例表明，确实有需要用到七种颜色的情况。

要是哪位读者朋友愿意“烧脑”一试，不妨找一个充气轮胎，还有一套七彩颜料，试一试给轮胎的表面涂色，画一个颜色和其他六个不同颜色相临的区域。完成之后，你就可以自称“玩转甜甜圈”了。