2.3.2 基于张量Tucker分解的缺失数据恢复方法

基于张量Tunker分解的缺失数据恢复方法流程如图2-23所示[20]。该方法首先构建了“转速×时窗×小波尺度×时间”的四阶张量，从而建立了多转速监测数据的直观表达及多转速数据的高维联系，然后利用张量分解挖掘监测数据中蕴含的机械健康信息，最后重构张量，实现缺失数据的恢复，具体步骤如下。

（1）建立监测数据的四阶张量表达。首先，利用滑动矩形窗将不同转速n_r的监测数据分割为多个时窗段，并在各个时窗段内分割缺失数据与高质量数据。之后，利用“db4”小波对各个窗内的数据进行多尺度分解，分解层数为3，从而得到不同尺度的小波系数，分别记为d₁、d₂、d₃、a₃。最后构建“转速×时窗×小波尺度×时间”的四阶张量，且。机械装备监测数据的四阶张量构建过程如图2-24所示。

（2）设定加权张量、最大迭代次数s_max、收敛精度ζ、阈值υ和核心张量秩等参数。其中可表示为：

即在张量值缺失处，加权张量值为0；在张量值未缺失处，加权张量值为1。缺失数据恢复等价于寻找矩阵和，使如下目标函数最小：

式中，表示Frobenius范数。式（2-42）表示根据张量的已知部分获得整个张量的近似Tucker分解，利用分解后得到的A、B、C和D和重构整个张量。此外，s_max设置为1 000，ζ=10-8，υ=10-8 [21]。为确定核心张量秩的大小，首先选取某段已知数据，然后利用不同大小的秩作为核心张量秩对数据进行恢复，选择恢复数据与该段数据吻合程度最高的秩作为核心张量秩。

（3）初始化矩阵A、B、C和D。对张量进行高阶奇异值分解得到上述矩阵的初始值，并记为A₀、B₀、C₀和D₀。

（4）初始化。令式（2-43）等于0，可求得的初始化值。

式中，。

（5）基于梯度下降算法迭代计算A、B、C和D，可求得目标函数对各个参数的偏导如下所示：

式中，为张量的不同模式水平展开。

（6）利用下式计算每次迭代后的：

（7）判断以下三个条件中任意一个是否成立：①达到设定的迭代次数s_max；②目标函数迭代第s次与第s-1次的差值小于ζ；③迭代第s次与第s-1次的核心张量秩之差的Frobenius范数满足：

若以上三个条件均不成立，令s=s+1，并返回第（5）步；否则，迭代停止。再根据第s次迭代获得的A_k、B_k、C_k、D_k和，重构张量并获得恢复的数据为：