3.1.1 气相控制方程

在本节中，我们将给出笛卡儿坐标系中气相运动的控制方程。这些方程也称为纳维-斯托克斯方程。方程中，x、y、z坐标轴方向上的单位向量分别用下标1、2、3表示。有时为了方便起见，也用x、y和z表示它们。位置矢量x可由以下公式定义为

x=x₁i+x₂j+x₃k

矢量算子定义为

速度矢量u定义为

u=u（x₁，x₂，x₃，t）i+v（x₁，x₂，x₃，t）j+w（x₁，x₂，x₃，t）k

为了易于理解，我们将首先给出可压缩、黏性、导热的理想气体流体的控制方程，随后给出相似但更复杂的刻画多组分、喷雾和化学反应流体的控制方程。这些方程的推导可以在许多书籍中找到[1]。质量守恒方程为

式中，ρ是流体的质量浓度或质量密度；t是时间。

动量守恒方程为

式中，p是流体压力；σ_ij是斯托克斯应力张量；g_i是重力加速度。

斯托克斯应力张量的定义为

式中，μ是动力黏度；δ是克罗内克张量，计算公式为

式（3-3）体现了牛顿流体的应力与速度梯度之间的关系。通常将应变率张量定义为

内能守恒方程为

式中，e是内能；q_j是由热传导引起的传热量：

式中，T是流体温度；λ是导热系数。

上述方程式可应用于内燃机中的可压缩冷流（例如，进气过程中的可压缩冷流或倒拖发动机中的可压缩冷流）。但是，必须将上述方程式进行推广，才能用来描述涉及多组分、喷雾和化学反应的过程。在这些流体中，组分k的质量守恒方程为

式中，ρ_k是组分k的质量密度，并且混合气的总质量密度与它的关系式为ρ=和两个源项分别是由于化学反应和喷雾蒸发/冷凝产生的；D是在菲克扩散定律假设下得到的单一扩散系数，其表达式为

式中，Sc是施密特数。

对所有组分应用式（3-7）求和，得到气流整体的质量守恒方程为

整个流体的动量守恒方程为

式中，是由喷雾引起的源项，其定义式将在下一节中介绍。

整个流体的能量守恒方程为

式中，J_j是传热量，它是热传导和焓扩散贡献的总和：

式中，和是喷雾和化学反应引起的源项；N是所有组分的数量。

基于将实际气体混合物视为理想气体的假设，给出如下状态方程。考虑到在内燃机中压力和温度的变化范围，这个假设是非常合理的。

式中，R是通用气体常数；W_k是组分k的分子量。