印度的零

印度的零代表虚空或不存在，但也代表空间、天空、天穹、空气和以太，以及无、不考虑的量、无意义的元素。23

——伊弗拉6（Georges Ifrah）

6 伊弗拉，法国数学教师，自学成才的数学史家。

巴比伦和玛雅文明的毁灭阻碍了他们独立发明的零符号未来的表示式样。这个荣誉授予了零的第三位发明者，他书写一切数的方式至今仍在通用。

早在公元前 3000 年，居住在印度河河谷地区的印度人已具有相当发达的文化。大批具有供水系统以及各种装饰物的城镇建立起来了。印章、书写体系和计算的形迹体现了一个高度发展的社会。书写和计算在整个印度次大陆延续了一千年。丰富多彩的手书体和数字系统在中印度各处和使用婆罗门数字的东南亚邻近地区都可找到。这种记号首次出现在公元前 350 年前后，尽管只有数字 1、2、4 和 6 的样本仍保留在石碑上。公元前一二世纪的抄本显示了它们看上去像什么样子24。请看图 1-23。

图 1-23　表示数 1 到 9 的印度早期符号

婆罗门数字的形态在某种程度上仍是个谜。表示从 4 到 9 的数的符号与它们所表示的数量并无任何明显的联系，然而它们可能是从已消失的字母表派生而来的，也可能是从不复存在的附有清晰说明的较早数字系统进化而来。

婆罗门计数系统在公元 6 世纪转化为一个以 10 为基数的位置记数法，即十进制。它利用了原有的表示数 1 到 9 的不同数字以及表示大数和 10 的较高次幂的数字的简明符号。使用它的最早的书写事例可追溯到公元 595 年，它出现在桑赫达的一张铜板契约上。25

这个卓越的计数系统很可能从使用以石子或种子展示数的计数板中得到了启发。如果谁想要用石子展示一个数，如 102，那么要放置 1 粒石子在百位列中，接着在十位列中留一间隔且在个位列中放置 2 粒石子。现已知道，创造一个逻辑清晰的记数法用以处理很大的数的进一步动力，来自于受到了巴比伦早期天文记录和符号影响的印度天文学家的研究工作。由婆罗门数字产生的最通用的位置记数法便是使用如图 1-24 所示的纳加里手写体的那种。

图 1-24　纳加里数字的演变。注意其中许多数字同我们现今使用的数字是多么相像！

印度人发展的位置计数系统有一个独特之处，它使用了很久以前便存在的相同数字。在其他文化里，一个位置记数法的创造需要改变表示这些数本身的符号。已知印度人的位置计数系统最早使用时间是在公元 594 年。

正如我们从巴比伦人和玛雅人那里所了解到的，一旦引进一个位置计数系统，那么一个零符号跟着出现便只是时间问题了。印度的零的最早应用是在公元 458 年，当时它出现在一本幸存的耆那教论宇宙学著作中，但间接的证据表明，早在公元前 200 年它谅必已被使用了。最初，它似乎用一个点而不是一个小圆来表示。6 世纪的一首诗歌《瓦萨瓦达泰》（Vâsavadattâ）谈及了使用点的原因26：

星星向外发光……就像零点……散布在天空中。

后来，熟悉的圆形符号 0 取代了点，而且向东传播到了中国。它被用于表示一个十进制数的任何位置（百位、十位、个位）上没有输入，而且由于印度的十进制计数系统是规则的，即它的每一数位是前一个数位的 10 倍，因此零还充当了一个算子。这样，把零加到一位数字串的末端就起着乘上 10 的作用，正如现在它为我们所做的一样。这个原则的一个奇妙的应用可在比哈里拉尔（Bihârîlâl）所写的一首梵文诗27里找到，在这首诗里，诗人以一种数学方式谈及一位美丽女人的前额上的点728来表示对她的赞美：

7 称为 tilaka，是印度人用化妆油点在前额上的圆点。

在她的前额上的点
使她的美丽增加 10 倍，
犹如一个零点（sunya-bindu）
使一个数增加 10 倍。

虽然印度人的零最初是以与巴比伦人和玛雅人同样的方式被引进的，用来表示一个空缺的数字，但是它迅速担当了另一个数字的身份。而且，和其他零的发明者大不相同，印度的计算者很容易地把它定义为任意数减去其自身所得的结果。在公元 628 年，印度天文学家婆罗门笈多（Brahmagupta）就是以这种方式定义零的，他还阐明了用它作加、减、乘，以及最惊人的除的代数运算规则。例如，当零（sunya）加到一个数或者从一个数上减去时，该数保持不变；而一个数乘上零时，则变成零。值得注意的是，他还定义无穷大作为任意一个非零数被零除后所得的数，并且建立了一套乘除正负数的一般规则体系。

关于为什么印度的零符号呈圆形，曾有过一些有趣的推测。29毕竟，我们在玛雅人和巴比伦人的手稿里看到它表现为某种非常不同的形式。卡克（Subhash Kak）曾提出，它由表示 10 的婆罗门符号发展而来。它像一个简单的鱼形或比例符号 ∝。此后，在一二世纪，它好像一个圆附加一个 1，如图 1-25 所示。因此，它暗示着表示 10 的符号可能分解为表示 1 的符号——单独一条竖线——和剩下的圆，它的数值为零。

图 1-25　表示 10 的鱼形符号可能分离成一个圆和表示 1 的一条线，留下圆作为零的符号

印度的零符号的一个迷人特点在于它表示的概念很丰富。巴比伦人习惯于一维地看待零符号，仅仅把它看作会计记录中表示一个空隙的符号，然而印度人却把它看作一个具有虚无和虚空含义的较广泛的哲学范畴的一部分。在此列出一些表示零的印度文字。30它们的数目本身就表明在印度的哲学里“无”这个概念的丰富程度，并且从中可看出，“不存在”的各个方面的含义需要清楚地标明。31

8 印度教三大神之一，保护神。

“宾杜”（Bindu）用来描绘最无意义的几何体——单独一点，即一个圆缩小到其中心而不再具有有限空间。照字义，它仅表示一个点，但它象征着宇宙在物化成我们所感受的外在实体世界之前的本质。它代表一个尚未被创造的宇宙，从中可创生一切事物。这种创造性的潜力可利用一个简单类比揭示出来。因为，通过运动，单独一点能形成线条，通过线条的运动能形成平面，通过平面的运动又能形成我们周围的整个三维空间。“宾杜”便是“无”，由此一切事物都能涌现。

这种从“无”中生有的概念导致了在一套玄想图里使用“宾杜”。在密教哲学（Tantra）的传统中，坐禅者必须从默想整个空间开始，此后再逐步从一种形状到另一种形状，最终让许多线条在一焦点处作中心收敛。也可遵循相反的默想路线，即从一点开始而向外运动，直到包含一切事物，如图 1-26 所示，这样，称为斯里扬特拉（Sriyantra）的复杂几何结构图被创作出来，用于把坐禅默想者的心和眼集中于连接其中心点到未知世界的收敛和发散的路径之上。

从印度关于零的概念化中，我们了解到它所透露出来的信息便是，“空”（sunya）包含如此丰富的概念。其字面上的意义是“空的”或“虚空”，但它也包含了“空间”“真空”“无意义”和“不存在”，以及“无价值”和“没有”等概念。它具有一个复杂性的网络，不可预言的联想会从中浮现，而不必经受严密的逻辑分析以肯定它们在形式逻辑结构之内的一致性。在这个意义上，印度人在不拘泥于字义的自由联想方面所取得的进展看来几乎接近现代人。其核心是一个特定的数字和符号功能，它在执行这个功能时并不企图抑制该概念在其他各个方面被使用和扩充。这也正是我们期望在现代文学艺术里找到的。一个形象或一个思想在某一特定学科里可能以一种明确定义的形式和意义存在，然而以不同的目的和想象力工作着的艺术家们仍在不断地对它进行推敲或再创作。

图 1-26　斯里扬特拉，即在密教传统的各部分里用作默想指南的一种几何结构图。已知最早的这种图例在公元 7 世纪出现，但较简单的图案则可追溯到公元前 12 世纪。它由三角形、多边形、圆和线条互相嵌套的复杂图案组成，它们收敛于一个中心点（即宾杜）之上，它或者是默想的终点，或者是默想的起点，由它向内还是向外依这些花纹的运动而定。在 9 个中心三角形里，4 个向上的顶点表示“阳性的”宇宙能，而 5 个向下的顶点表示“阴性的”宇宙能。建构这些和其他一些吠陀的敬神指南图，要求具有相当多的几何知识 32