1.2.2　多量子比特逻辑门

实现多量子比特逻辑门（简称多比特门）时，量子比特和量子逻辑门都是通过“张量积”运算完成增长的。 对于 量子比特，量子比特系统的计算基就由个单位正交向量组成，借助经典比特的进位方式对量子比特进行标记，从左到右依次是二进制中的高位到低位。也就是说，中为高位，为低位。

标准的多比特门包括两量子比特逻辑门（简称两比特门）和三量子比特逻辑门（简称三比特门）。两比特门包括受控泡利门、受控H门、受控旋转门、受控相位门（Controlled Phase Gate，简称CR门）、换位逻辑（iSWAP）门。三比特门包括托佛利（Toffoli）门和控制--交换门[弗雷德金（Fredkin）门]等。下面简要介绍CNOT门、CR门、iSWAP门，以及多量子比特受控U门。

1. CNOT门

互不相关的两个量子比特能够在经典计算机上轻易模拟，而有纠缠的量子比特的纠缠性是通过受控操作（Controlled Operation）实现的，用受控门表示。最常用的受控门是受控非门，称为CNOT门（或 CX门），如图1.2所示。

图1.2　CNOT门

图1.2中的每根线都表示一个量子比特演化的路线，且这两根线有位次之分，从上到下依次表示从低位到高位的量子比特演化的路线。图1.2横跨两个量子比特，它代表将一个两比特门作用在这两个量子比特上。 一般将 含实点的路线对应的量子比特称为控制比特（Control Qubit），另一条路线对应的量子比特为目标比特（Target Qubit）。

若低位为控制比特，满足运算：

(1.22)

那么，CNOT门具有如下矩阵形式：

(1.23)

由此可见，当低位为控制比特、高位为目标比特时，若低位位置对应为1，高位就会被取反；当低位位置为0时，不对高位做任何操作。

若高位为控制比特，状态演变如图1.3所示。

图1.3　高位为控制比特时的状态演变

那么，CNOT门具有如下矩阵形式：

(1.24)

在计算机基础方面，CNOT门可以表示为。 也就是说，当控制比特为态时，目标比特不发生改变；当控制比特为态时，对目标比特执行X门（量子非门）操作。

2. CR门

受控相位门（Controlled Phase Gate）和CNOT门相似，通常称为 CR 门（或CPhase门），矩阵形式为

(1.25)

CR门在线路中的符号如图1.4所示。

图1.4　CR门

当控制比特为态时，目标比特不发生改变；当控制比特为态时，对目标比特执行相移门（Phase-shift Gate）。相移门的特征是，将CR门里的控制比特和目标比特的状态进行交换，矩阵形式不会发生任何改变。

3. iSWAP门

iSWAP门的主要作用是交换两个量子比特的状态，并且赋予其相位。经典电路中有 SWAP 门，iSWAP门则是量子计算中特有的。iSWAP门在某些体系中是较容易实现的两比特门，它是先由 作为生成元生成，再作对角化。 门的矩阵形式为

(1.26)

iSWAP门在线路中的符号如图1.5所示。 通常会用一个完整的翻转，即的情况来指代iSWAP门。当角度为时，记为。 对 门而言，两个量子比特之间的地位是对等的，不存在控制和受控的关系。

图1.5　iSWAP门

4. 一般受控U门

假设有量子比特，是一个量子比特逻辑门，则可定义受控操作：设位控制比特满足控制条件，则将作用于位目标比特，否则保持目标比特不变。本质上来说，任意情况的受控U门（）均有通用计算表达式，如式(1.27)所示。

(1.27)

式(1.27)可以写成

(1.28)

取、，就可得到CNOT门：

(1.29)

(1.30)

注1.4　这里的特殊算符可以衍生出测量、判别和镜像反射等多种用途，在后面的量子线路和量子算法中均有较多应用场景。