1.2.1　数制的概念

数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数值的方法。

按照进位方式计数的数制叫进位计数制。在采用进位计数制的数字系统中，如果用R个基本符号（例如0，1，2，…，R−1）表示数值，则称其为R进制，R称为该数制的基，构成该数的数字称为数码，一个数的每个位置上所代表的数值的大小称为位权。位权的大小是以基数为底、数码所在位置的序号为指数的整数次幂。整数部分最低位的位权是R0，次低位位置上的位权为R1；小数点后第1位的位权R-1，第2位的位权为R-2，依此类推。

各种常用数制以及它们的特点如表1-1所示。

提示

十进制D（decimal）、二进制B（binary）、八进制O（octal）、十六进制H（hexadecimal）。

【例1-1】十进制数1234.56可以展开为

（1234.56）10=1×103+2×102+3×101+4×100+5×10-1+6×10-2

其中，基为10，1、2、3、4、5、6为数码，103、102、101、100、10-1、10-2为位权。

又如，二进制数（10101.101）2=1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3，基为2，1、0、1、0、1、1、0、1为数码，24、23、22、21、20、2-1、2-2、2-3为位权。

德国数学家莱布尼茨（Leibniz）18世纪发明的二进制是对人类的一大贡献。计算机中数据的存储和处理均采用二进制，主要原因有以下4点：

1.电路简单

计算机是由逻辑电路组成的，逻辑电路通常只有两种状态，例如开关的接通与断开，晶体管的饱和与截止，电压电平的高与低等，这两种状态正好用数码0和1来表示。

2.工作可靠

代表两种状态的两个数码在数字传输和处理中不容易出错，因而电路更加稳定可靠。

3.简化运算

二进制数的运算法则少，运算简单，使计算机运算器的硬件结构大大简化（十进制的乘法运算法则有55种，而二进制乘法只有3种运算法则）。

4.逻辑性强

由于二进制0和1正好与逻辑代数的假（False）和真（True）相对应，应用逻辑代数的理论基础支持用二进制表示二值逻辑。

二进制的书写一般比较长，而且容易出错。因此除了二进制外，为了便于书写和记忆，还经常采用八进制和十六进制表示数据。二进制数、八进制数和十六进制数之间的对应关系如表1-2所示。