7.1 空间向量及其代数运算

7.1.1 空间直角坐标系

为给空间中的点定位，我们按照图7-1-1那样安排三条相交于一定点O且互相垂直的轴，组成右手坐标系（即握住右手，大拇指以外的手指从x轴向y轴弯曲，那么大拇指则指向正z轴的方向），称为Oxyz空间直角坐标系，又称三维笛卡儿坐标系.

设M为空间中任意一点，过M点作三个平面分别垂直于x轴，y轴和z轴（见图7-1-2），则三个垂足P，Q，R在三个坐标轴上的坐标依次为x，y，z，它们构成的三元有序数组（x，y，z）就与点M一一对应，称（x，y，z）为点M的坐标，其中x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标，又称x坐标，y坐标和z坐标.

x轴上点的y坐标和z坐标都是零，即x轴上点的坐标形如（x，0，0）. 类似地，y和z轴上点的坐标分别是（0，y，0）和（0，0，z）.

每两条坐标轴所确定的平面称为坐标面，因此在空间直角坐标系中有三个坐标面，分别为xOy坐标面、yOz坐标面和zOx坐标面，这三个坐标面相互垂直，把空间分成了八个称为卦限的部分，其中点的坐标都是正数的卦限称为第一卦限，第五卦限在第一卦限的下方，第二、三、四卦限，第六、七、八卦限分别按逆时针方向排列在xOy坐标面的上方和下方. 八个卦限分别用大写罗马数字I，II，…，VIII表示（见图7-1-3）.

设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）是空间中的两点，那么如何计算|M1M2|呢？

分别过M1和M2这两点各作三个垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面构成了一个以M1M2为对角线的长方体（见图7-1-4），该长方体的三条相邻的棱长分别等于P1P2，Q1Q2和R1R2的长度，即分别为

|x1-x2|，|y1-y2|，|z1-z2|，

由此可得对角线M1M2的长度，即点M1与M2之间的距离公式为

例7.1.1　求与定点M0（x0，y0，z0）距离恒为R的动点M（x，y，z）的轨迹.

解　由于|M0M|=R，从而有

两边平方即可得到点M的轨迹为

（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=R2.

例7.1.2　求与两定点M1（1，0，2），M2（-1，0，2）距离相等的点M（x，y，z）的轨迹.

解　由于|M1M|=|M2M|，从而有

化简得点M的轨迹为x=0.

7.1.2 空间向量的概念

1. 向量的概念

有些量只有数量的属性. 举例来说，我们测量质量、长度、时间时，只需要记录一个数和一个合适的测量单位即可，这些就是数量. 而为了描述诸如力、位移或速度，仅仅只有数量的大小则是不够的，例如为描述一个力，我们不但需要记录力的大小还需要知道力的作用方向. 我们把这种既有大小、又有方向的量称为向量. 通常用黑体字母a，b或上方带有箭头的字母表示. 跟平面向量一样，长度和方向是空间向量的两个重要特征. 在几何上，通常用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，方向表示向量的方向. 例如起点为A、终点为B的有向线段就表示一个确定的向量（见图7-1-5）. 它的长度用表示，也称为向量的模，是一个非负的数. 我们把模为1的向量称为单位向量；模为0的向量称为零向量，记为0或，零向量的方向是任意的.

如果向量a与b的模相等且方向相同，就称a与b相等，记作a=b.

若一个向量与其起点位置无关，即在作任何平移变化时该向量保持不变，我们就称之为自由向量，简称向量. 如无特别说明，本书中所涉及的向量均为自由向量. 与之相对的是固定向量，例如力学中的作用力就是固定向量.

2. 向量的夹角

设有向量a和b，将a或b平移使它们有相同的起点，称它们所在射线的夹角θ为a与b的夹角，记为，其取值范围为0≤θ≤π（见图7-1-6）.

如果（或π），就称向量a与b平行，记为a//b（其中夹角为零，两向量同向；夹角为π时，两向量反向）；如果，就称向量a与b垂直，记为a⊥b.

3. 向量的代数运算

（1）向量的加法运算

在物理学中，力、速度以及加速度等都按向量的方式相加.

定义7.1.1　设有两个不平行的向量a与b，将它们平移到同一个起点，并以a，b为邻边作平行四边形，则对角线向量即为向量a与b的和，记为c=a+b（见图7-1-7）. 此法称为向量加法的平行四边形法则.

向量加法的另一种方法：将b的起点平移到a的终点，则从a的起点到b的终点所构成的向量即为a+b（见图7-1-8），此方法称为向量加法的三角形法则. 此法则对平行向量仍然适用.

向量的加法满足下列性质：

①a+0=a；

② 交换律a+b=b+a；

③ 结合律（a+b）+c=a+（b+c）=a+b+c.

（2）向量的数乘运算

定义7.1.2　设有向量a以及实数λ，规定λ与a的乘积是一个向量，记为λa，简称为数乘，其模为|λa|=|λ||a|（即λa的长度是a的长度的|λ|倍），λa的方向为：

① 当λ>0时，λa与a同方向；②当λ<0时，λa与a反方向；③当λ=0时，λa=0.

向量的数乘满足以下性质（其中λ，μ为实数）：

① 结合律λ（μa）=（λμ）a=μ（λa）=λμa；

② 分配律（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.

特别地，向量（-1）a=-a和a有相同的长度但指向相反的方向，称为a的负向量.

两个向量a与b的差（见图7-1-9）为：a-b=a+（-b）.

（3）向量的单位化

设a≠0，则向量是与a同向的单位向量，通常记为a0，即，则有

这样就把一个向量表示成它的长度和方向的乘积.

7.1.3 向量的坐标表示

1. 向量的坐标

若向量的起点在原点O（0，0，0），终点为M，则向量的坐标即为终点M的坐标. 用从原点O（0，0，0）到点（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1）的有向线段所表示的向量作为标准单位向量，分别用i，j和k表示（见图7-1-10），于是向量可表示为：

r又称为向径. 对任意起点为M1（x1，y1，z1），终点为M2（x2，y2，z2）的向量，如何求其坐标？

过M1和M2这两点各作三个垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面构成了一个以M1M2为对角线的长方体（见图7-1-11），该长方体的三条相邻的棱所表示的向量就称为在x轴，y轴和z轴上的分向量. 由向量的加法运算，有

其中

因此

其中

ax=x2-x1，ay=y2-y1，az=z2-z1，

分别称为在x轴，y轴和z轴上的投影，也称为向量的坐标. 和点与点的坐标类似，向量a与有序数组ax，ay，az一一对应，式（7.1.2）称为向量的坐标表示，记为

利用向量的坐标表示，可将向量的加减以及数乘运算转化为其坐标的数量运算.

设

a=axi+ayj+azk={ax，ay，az}，b=bxi+byj+bzk={bx，by，bz}，

λ为任意实数，则

a±b=（ax±bx）i+（ay±by）j+（az±bz）k={ax±bx，ay±by，az±bz}，λa=λaxi+λayj+λazk={λax，λay，λaz}.

由此可得非零向量a//b的充分必要条件是：存在实数λ，使得

bx=λax，by=λay，bz=λaz，

即a与b的对应坐标分量成比例，则上式等价于

其中ax，ay，az不全为零，若个别为零，则相应的分子也应为零.

例7.1.3　把一个质点的速度向量v=i+2j+3k表示成它的速率和方向的乘积.

解　与在平面上类似，速率是速度向量的大小，于是有

则

2. 向量的方向余弦

定义7.1.3　设非零向量a与x轴、y轴和z轴正向的夹角分别为α，β，γ（0≤α，β，γ≤π），称α，β，γ为向量a的方向角，cosα，cosβ，cosγ为a的方向余弦（见图7-1-12）. 易知其坐标为

ax=|a|cosα，ay=|a|cosβ，az=|a|cosγ，

因此a的方向余弦为

易知方向余弦有下列两个性质：

（1）cos2α+cos2β+cos2γ=1；

（2），即

{cosα，cosβ，cosγ}

为与a同向的单位向量.

例7.1.4　设，M2（2，2，0），求向量的模、方向余弦、方向角及与a平行的单位向量.

解　，则

所以，与a平行的单位向量为.

习题7-1

1. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A（1，-2，2）；B（1，2，-3）；C（1，-2，-3）；D（-2，-1，-3）.

2. 求点P（1，0，1）

（1）到各坐标轴的距离；（2）到各坐标面的距离.

3. 过M0（x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.

4. 求点（a，b，c）关于

（1）各坐标面的对称点的坐标；（2）各坐标轴的对称点的坐标.

5. 在xOy坐标面上，求与三个已知点A（5，6，2），B（4，7，-2）和C（3，5，3）等距离的点.

6. 求空间中距原点和点（0，2，0）等距离的点的轨迹.

7. 给定两点A（-2，0，1），B（2，3，0），在Ox轴上有一点P，满足|PA|=|PB|，求点P的坐标.

8. 设a=2i-4j-5k，b=i-2j-k，求向量c=2a+3b在x轴上的投影以及在z轴上的分向量.

9. 求平行于向量的单位向量.

10. 已知两点和M2（2，-1，1），求向量的模、方向余弦和方向角.

11. 求p，q的值，使三点A（1，2，3），B（-2，1，p），C（4，q，-1）共线.

12. 试证明以三点A（1，2，3），B（9，-2，5），C（3，0，8）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

13. 从点A（1，-2，3）沿向量a={2，-3，6}的方向取一线段长|AB|=28，求点B的坐标.