7.2 向量的乘积

7.2.1 向量的数量积

定义7.2.1　设有向量a，b，称数值为a与b的数量积（也称点积或内积），记为a·b，即

向量的数量积满足以下性质：

（1）a·a=|a|2；

（2）交换律a·b=b·a；

（3）分配律a·（b+c）=a·b+a·c；

（4）结合律（对数乘的结合律）λ（a·b）=（λa）·b=a·（λb）（λ为任意实数）；

（5）a⊥b的充分必要条件是a·b=0.

数量积的坐标表示　设两向量a，b的坐标分别为a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}，则

a·b=（axi+ayj+azk）·（bxi+byj+bzk）=axbxi2+aybyj2+azbzk2+（axby+aybx）i·j+（aybz+azby）j·k+（axbz+azbx）k·i=axbx+ayby+azbz.

即

{ax，ay，az}·{bx，by，bz}=axbx+ayby+azbz.

也就是说两向量的数量积等于其对应坐标乘积之和。

当a≠0，b≠0时，

从而

由此可得：a⊥b的充分必要条件是

axbx+ayby+azbz=0.

数量积的物理意义

一个向量在非零向量上的向量投影（见图7-2-1）是指从点Q向直线PM引垂线，垂足为N，由此确定的向量就是向量a在b上的投影，记为

projba（a在b上的向量投影）.

若a表示一个力，则projba表示在b的方向上a的有效力。例如：我们用一个常力F拉一个箱子，则使箱子在位移方向s上向前运动的有效力就是F在s上的向量投影（见图7-2-2），其长度就是

|F|cosθ，

则力F所做的功为

W=|F||s|cosθ=F·s.

例7.2.1　已知

求|a+b|.

解　由数量积的定义及性质可知

故

例7.2.2　设向量a，b，c满足a+b+c=0，且|a|=3，|b|=2，|c|=5，求a·b+b·c+c·a.

解　由已知

（a+b+c）·（a+b+c）=a·a+b·b+c·c+2（a·b+b·c+c·a）=|a|2+|b|2+|c|2+2（a·b+b·c+c·a）=0，

故

a·b+b·c+c·a=-19.

7.2.2 向量的向量积

定义7.2.2　设有向量a，b，两者的向量积为一个新的向量c，其大小和方向按如下规定：

（1）c的模为；

（2）c的方向垂直于a和b，并且a，b，c的方向符合右手法则（见图7-2-3），则向量c称为a和b的向量积（也称叉积或外积），记为a×b，即

c=a×b.

向量的向量积有如下性质：

（1）反交换律

a×b=-b×a（见图7-2-4）；

（2）分配律

a×（b+c）=a×b+a×c；

（3）结合律（对数乘的结合律）

（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b）（λ为任意实数）；

（4）a//b的充分必要条件是a×b=0，特别地，a×a=0.

由向量积的定义和性质，不难发现：标准单位向量i，j，k两两的向量积具有图7-2-5所示的规律.

向量积的坐标表示　设两向量a，b的坐标为a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}，则

a×b=（axi+ayj+azk）×（bxi+byj+bzk）=axbxi×i+aybyj×j+azbzk×k+axbyi×j+aybxj×i+aybzj×k+azbyk×j+axbzi×k+azbxk×i=（aybz-azby）i-（axbz-azbx）j+（axby-aybx）k.

为了简化上式，便于记忆，我们需要介绍二阶、三阶行列式的计算公式（行列式定义了一种运算规则）.

二阶行列式.

三阶行列式

于是利用行列式的记号，向量积a×b可以记为

向量积的几何意义　向量积a×b的模|a×b|就是以a，b为邻边所构成的平行四边形的面积（见图7-2-6）.

向量积的物理背景　当我们用一个力F转动螺栓时，会产生一个力矩作用在螺栓的轴上以使螺栓前进（见图7-2-7）. 由力学知识可知，力矩为一向量，其模为

|M|=|r||F|sinθ=|r×F|.

力矩M的方向垂直于r和F所确定的平面，并且三者的方向符合右手法则（即右手四指从r的方向往F方向握拳，则大拇指的指向即为M的方向）.

例7.2.3　若向量a={2，1，1}，b={-2，3，1}，求a×b和b×a，并求同时垂直于向量a，b的单位向量.

解　由向量积的行列式计算公式知

由向量积的性质可知

b×a=2i+4j-8k.

易知向量c既垂直于a又垂直于b，因而所求的单位向量为

例7.2.4　求顶点为P（1，-1，0），Q（2，1，-1），R（-1，1，2）的三角形的面积.

解　因为，由向量积的几何意义，三角形PQR的面积为

而

故所求面积为

例7.2.5　已知a+b+c=0，证明a×b=b×c=c×a.

解　因为（a+b+c）×a=a×a+b×a+c×a=0，从而有

a×b=c×a.

其他同理可证.

7.2.3 向量的混合积

定义7.2.3　设有向量a，b，c，称（a×b）·c为a，b，c的混合积，记为[abc]，即

[abc]=（a×b）·c.

混合积的坐标表示　设三个向量a，b，c的坐标为

a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}，c={cx，cy，cz}，

则

性质　三个向量a，b，c共面的充分必要条件为

[abc]=0.

混合积的几何意义　[abc]是一个数量，从几何上看，其绝对值[abc]是以a，b，c为相邻的三条棱的平行六面体的体积（见图7-2-8），即

|[abc]|=|a×b||c||cosθ|，

其中θ为a×b与c的夹角，|a×b|为以a，b为邻边的底面平行四边形的面积，|c||cosθ|为平行六面体的高h.

例7.2.6　判断向量

a={2，-1，3}，b={-1，0，5}，c={1，0，-5}

是否共面.

解　由于

故a，b，c这三个向量共面.

例7.2.7　计算顶点为A（2，-1，1），B（5，5，4），C（3，2，-1），D（4，1，3）的四面体的体积.

解　所求四面体的体积是以为棱的平行六面体体积的六分之一，故

又

则三者的混合积为

故

习题7-2

1. 设向量r的模是3，它与轴u的夹角是，求r在轴u上的投影.

2. 设a=i-2j+2k，b=3i-4k，求：

（1）a·k；

（2）b×j；

（3）（a-b）·（2a+b）；

（4）（3a-b）×（a-b）.

3. 求由点A（0，3，3），B（3，1，-3），C（1，3，2）和D（7，5，5）构成的向量在向量上的投影.

4. 设a，b和c均为单位向量，且满足a+b+c=0，求a·b+b·c+c·a.

5. 设，|b|=1，a与b的夹角为，求向量a+b和a-b的夹角.

6. 已知a={-1，0，2}，b={1，-2，0}，c={0，2，3}，验证（a×b）×c≠a×（b×c）.

7. 求以向量a={1，2，-2}，b={1，-1，2}为邻边的平行四边形的面积.

8. 求与M1（-1，2，2），M2（1，2，3），M3（-1，3，1）三点所在平面垂直的单位向量.

9. 对任意三个向量a，b和c，证明a-b，b-c和c-a共面.

10. 试用向量方法证明（柯西-施瓦茨不等式）：

其中a1，a2，a3及b1，b2，b3为任意实数，并指出等号成立的条件.

11. 试证明空间四个点Ai=（xi，yi，zi）（i=1，2，3，4）共面的充分必要条件是